Todos los números reales para los que$n$ en$5^n+7^n+11^n=6^n+8^n+9^n$

Question

Encontrar todos los número real $n$ en

$$5^n+7^n+11^n=6^n+8^n+9^n$$

Tratar: De la ecuación dada

$n=0,1$ son la solución

Pero yo no entiendo que cualquier otra solución existe o no

Aunque he intentado como de esta manera

$$\bigg(\frac{5}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{7}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{11}{9}\bigg)^n = \bigg(\frac{6}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{8}{9}\bigg)^n+1$$

Lado derecho es estrictamente creciente de la función. pero tengo una confusión sobre si el lado izquierdo es estrictamente creciente o no

alguien podría ayudarme a cómo resolverlo, gracias

Answer 1

Considere la función $f(x)=x^n$ positivos $x$. Su segunda derivada es $n(n-1)x^{n-2}$ y, por tanto, para $n > 1$ o $n<0$ $f$ es estrictamente convexa , mientras que para $0 < n < 1$ f es estrictamente cóncava.

Nuestra ecuación es equivalente a $f(5) + f(7) + f(11) = f(6) + f(8) + f(9)$

En el convexo caso tenemos:

$f(6) = f(\frac{5+7}{2}) < \frac{f(5)+f(7)}{2}$,

$f(9) = f(\frac{7+11}{2}) < \frac{f(7)+f(11)}{2}$,

y que

$f(8) = f(\frac{11+5}{2}) < \frac{f(11)+f(5)}{2}$

Por lo $ f(5) + f(7) + f(11) > f(6) + f(8) + f(9)$

En el cóncavo caso de que el mismo estricta de las desigualdades de espera, pero a la inversa. Por lo tanto sólo n=0 o n=1 podría ser la solución y ambos trabajan.