Dado un poset infinito de cierta cardinalidad, ¿contiene siempre una cadena o anticadena de la misma cardinalidad?

Question

Se sabe que dado un poset infinito, siempre contiene una cadena o anticadena infinita; además, existe una prueba constructiva de que podemos encontrar una cadena continua en $P(\mathbb{N})$ ; así que, en general, me pregunto si dado un poset de cierta cardinalidad, siempre podríamos encontrar una cadena o anticadena de la misma cardinalidad.

Answer 1

De hecho, hay una respuesta negativa demostrable en ZFC. Como tenemos elección, ordenamos bien el intervalo $[0,1]$ . Entonces dejemos que $x\sqsubset y$ si y sólo si el orden del pozo coincide con el orden estándar de los reales y $x<y$ . Entonces $[0,1]$ con la ordenación $\sqsubset$ es un poset incontable sin cadena incontable ni anticadena incontable.

Considera cualquier incontable $S\subseteq[0,1]$ . Dejemos que $z$ sea el mínimo del conjunto $$\{x\in [0,1]|\text{ there are uncountably many }y<x\text{ with }y\in S\}$$ $S$ no puede ser una cadena ya que, de lo contrario, una secuencia contable creciente de elementos de $S$ convergiendo a $z$ sería cofinal en $\omega_1$ .

Del mismo modo, podemos tomar $w$ para ser el supremum del conjunto $$\{x\in [0,1]|\text{ there are uncountably many }y>x\text{ with }y\in S\}$$ Entonces, si $S$ fuera una anticadena, entonces una secuencia contable decreciente (según el ordenamiento estándar de los reales) en $S$ volvería a ser cofinal en $\omega_1$ .

Answer 2

A Árbol de Suslin es un poset (de hecho, un árbol) que tiene cardinalidad $\omega_1$ pero toda cadena y toda anticadena es contable. La existencia de un árbol de Suslin no es demostrable ni refutable en ZFC. Por lo tanto, su pregunta no tiene una respuesta afirmativa demostrable en ZFC.

No sé si tiene una respuesta negativa (usando algo distinto a los árboles de Suslin) demostrable en ZFC. Aubrey da Cunha ha dado una prueba de que la respuesta a la pregunta es "no". Esa respuesta debería ser aceptada por encima de esta.

Answer 3

Una respuesta negativa natural es tomar el poset $\bigcup_{n\in\omega} \{n\}\times\omega_n$ con dos puntos comparables si sus primeras coordenadas coinciden. Cualquier anticadena aquí es contable, y cualquier cadena tiene un tamaño estrictamente inferior a $\aleph_\omega$ que es el tamaño del conjunto. Tenga en cuenta que esto no utiliza ninguna forma de elección.

Answer 4

Esto es cierto exactamente para $\omega$ y para cardinales débilmente compactos. Se ha demostrado en

G.D. Badenhorst y T. Sturm, Una caracterización teórica del orden y de los grafos de los cardinales débilmente compactos en Cycles and Rays (NATO Adv. Sci. Ser. C Math. Phys. Sci., 301), 1990, pp.19-20, MR1096981 .

Answer 5

Esta es la misma respuesta que la de @aubrey, pero con una prueba alternativa.

Dejemos que $\preceq$ ordenar bien los números reales $\mathbb R$ y que $\leq$ sea la ordenación habitual de $\mathbb R$ . Entonces $\sqsubseteq$ definido por $x\sqsubseteq y$ si y sólo si $x\preceq y$ y $x\leq y$ es una orden parcial de $\mathbb R$ .

Afirmamos que toda cadena y anticadena con respecto a $\sqsubseteq$ es contable. Para ver esto, dejemos que $C=\{c_\alpha:\alpha<|C|\}$ tal que $\alpha<\beta$ si y sólo si $c_\alpha\prec c_\beta$ .

Utilizamos el siguiente lema: dada cualquier secuencia creciente/decreciente de reales, existe una secuencia creciente/decreciente de números racionales de la misma cardinalidad (elija un racional entre cada término y su sucesor). Por tanto, toda sucesión creciente/decreciente de reales es contable.

Si $C$ es una cadena, entonces $\alpha<\beta$ implica $c_\alpha < c_\beta$ ya que $c_\alpha$ y $c_\beta$ son comparables por $\sqsubseteq$ . Como no existe una secuencia creciente e incontable de reales, $C$ es contable.

Si $C$ es una anticadena, entonces $\alpha<\beta$ implica $c_\alpha \not< c_\beta$ (de forma equivalente, $c_\alpha >c_\beta$ ), ya que $c_\alpha$ y $c_\beta$ son incomparables por $\sqsubseteq$ . Como no existe una secuencia decreciente incontable de reales, $C$ es contable.