Inverso de funciones 2D

Question

Considere una función$g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y otra función$h: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. ¿Siempre existe una función$f$ st$g(f(x),f(y)) = h(x,y)$?

Puedo construir casos simples por ejemplo. $g(x,y)=x+y$,$h(x,y)=x^2+y^2+xy$ y luego ponga los valores para obtener la contradicción en$f(x) + f(y) = x^2 + y^2 + xy$, pero no estoy seguro de cuál es el enfoque correcto para resolver el problema general.

Veo que para$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ esto es sencillo como$f(x) = g^{-1}h(x)$, así que$f$ existe si$g$ es invertible.

Answer 1

Para probar que algo no es cierto, es suficiente construir un ejemplo para el que falla.

Deje$g(x,y) = x$ y$h(x,y)=y$. ¿Puede obtener un$f$ para satisfacer su condición?