significado físico del vector$(A \cdot \nabla) A$

Question

Si consideramos el vector $\left ( A \cdot \nabla \right) \: B$, tenemos en coordenadas Cartesianas

$$\left ( A \cdot \nabla \right) \: B = \left ( A \cdot \nabla B_x \right ) e_x + \left ( A \cdot \nabla B_y \right ) e_y + \left ( A \cdot \nabla B_z \right ) e_z,$$ que da en su totalidad de la escritura:

$$\left ( A \cdot \nabla \right) \: B = \left (A_x \frac{\partial \: B_x}{\partial \: x} + A_y \frac{\partial \: B_x}{\partial \: y} + A_z \frac{\partial \: B_x}{\partial \: z} \right )e_x + \left (A_x \frac{\partial \: B_y}{\partial \: x} + A_y \frac{\partial \: B_y}{\partial \: y} + A_z \frac{\partial \: B_y}{\partial \: z} \right )e_y + \left (A_x \frac{\partial \: B_z}{\partial \: x} + A_y \frac{\partial \: B_z}{\partial \: y} + A_z \frac{\partial \: B_z}{\partial \: z} \right )e_z$$

Ahora, si $B=A$ e $A=\left (0, \: 0, \: A_z \right )$ (es decir,$A_x=A_y=0$), tenemos a partir de la definición anterior, en los siguientes término a lo largo de la unidad de vectores $e_z$:

$$\left ( A \cdot \nabla \right) \: A = A_z \frac{\partial \: A_z}{\partial \: z}$$

Pero esto es igual a cero debido a que $\frac{\partial A_z}{\partial \: z}=0$, a pesar de $A_z \neq 0$.

Así, obtenemos $$\left ( A \cdot \nabla \right) \: A =0$$

Me gustaría saber la interpretación física de este resultado. ¿Cuál es la importancia de este vector es cero en términos de líneas de campo?

Muchas gracias...

Answer 1

$A\cdot\nabla$ es el derivado en la dirección de$A$ (multiplicado por la longitud de$A$), por lo que$(A\cdot\nabla) A=0$ significa que$A$ en sí mismo no cambia cuando te mueves $A$. Lo que a su vez implica que las líneas de campo son líneas rectas.

En términos más generales, las líneas de campo son líneas rectas si y solo si$(A\cdot\nabla)A$ es un múltiplo (no necesariamente constante) de$A$.