¿Puede el absurdo abstracto ser útil aquí?

Question

Aquí una pregunta para aquellos de entre ustedes, que enseñan Homotopics/Topología Algebraica en la universidad. Me encontré con algunas de las preguntas que fueron, en mi opinión, bastante más fáciles de resolver en la categoría hTop en lugar de la parte Superior (ejemplo 1, ejemplo 2). En mis respuestas, me dijo que la familiaridad con las categorías de entender. Puede respuestas como que realmente sea útil para el estudiante? Si no, entonces debería parar con ella. El estudiante debe ser el centro en mi pensar cuando respondo a una pregunta. No debe de ser una manera para exponer mis conocimientos (mi carne es débil).

Usted sabe mejor lo que es útil para sus estudiantes. Así que les pido.

Answer 1

En mi opinión, el idioma de la categoría de la teoría, es extremadamente útil. Sí tener un poco de esfuerzo para aprender (un esfuerzo considerablemente mayor que la de obtener los conceptos básicos de la teoría de conjuntos), pero el beneficio es considerable. Sin embargo, hay un problema, es decir, esta parece ser la opinión de una minoría, al menos, tan lejos como los libros de texto son considerados. Habiendo dicho esto, y especialmente en topología algebraica, yo siempre voy con una explicación categórica cuando (y esto es casi siempre el caso) es un iluminador uno.

Nota: Esta tendencia a evitar categórica lenguaje en los libros de texto está bien ejemplificada por Hatcher del libro. Es un monumental introducción a la topología algebraica con mucho cuidado para la exposición y explicación todavía se evita la categoría de teoría. Para mí, evitando la categoría de la teoría de la topología algebraica es evitar la topología algebraica (o al menos su lenguaje central).

Answer 2

Decir algo en contra, me parece que si yo escribiera una prueba de minimizar o maximizar la cantidad de categórico idioma, hay poco ganado de una manera o de la otra. Hacer las elecciones que usted hace en función de lo que sabe el público prefiere. Pero si empiezo a pensar que una prueba es de alguna manera mejor o más eficiente que otro, por lo general esto es un reflejo de mi propia indigestión del material. Es casi siempre la misma prueba, sólo se analiza de forma ligeramente diferente, con un lenguaje ocultar cuantificadores en varias ingeniosas maneras. En el raro caso de que haya un real o estética de la diferencia, tal vez realizar una elección informada por eso.

Si vas hacia atrás y mirar a algunos de Whitney primeros papeles en el colector de teoría, son despojados de casi todo el lenguaje formal. Sin embargo, el contenido conceptual y ramificaciones eran espectaculares. Usted siempre obtendrá una mayor apelación si usted minimizar los requisitos previos para su escritura. Si usted sabe que usted está hablando con la gente que se "convierte" a lo que la notación que se está utilizando, por todos los medios utilizar. Pero dado una opción que me inclino más hacia los mínimos requisitos previos cuando puedo.