¿Cómo elegir una serie de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie dada?

Question

A la hora de probar para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos, hay una forma común comparándolas con otras series que ya sabemos que convergen o divergen.

Mi pregunta es, ¿cómo elegimos la serie adecuada para comparar? Espero obtener algunos detalles metodología sobre esto. Estoy un poco confundido, ¿tengo que confiar en mi intuición?

Por ejemplo, ¿cómo puedo elegir una serie de comparación para este dado a continuación:

$$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}$$

Answer 1

En su caso, la convergencia de $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac1{n \log n}$ se puede comprobar mediante la siguiente prueba de convergencia. Si tenemos una secuencia monótona decreciente, entonces $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} a_n$ converge si $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} 2^na_{2^n}$ converge.

Tenga en cuenta que $$\sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\dfrac1{n \log n} > \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} \dfrac1{2^k \log \left(2^k \right)} = \dfrac{2^k}{2^k k \log(2)} = \dfrac1{\log 2} \dfrac1k$$

Por lo tanto, $$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac1{n \log n} > \dfrac1{\log 2} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac1k$$ Por lo tanto, diverge.

En general, si se quiere demostrar $$\sum_{k=1}^{\infty} a_k$$ diverge y no puede encontrar $b_k$ tal que $a_k > b_k$ y $$\sum_{k=1}^{\infty} b_k$$ diverge, su próxima apuesta es encontrar $b_k$ tal que $\displaystyle \sum_{n=f(k)}^{f(k+1)-1} a_n > b_k$ , donde $f(k)$ es una función estrictamente monótona creciente, tal que $\sum b_k$ diverge.

Answer 2

Normalmente, se puede elegir el orden más alto del denominador y del numerador, respectivamente. Así que en tu problema, para el numerador elige $1$ cuyo orden más alto es $0$ y para el denominador elija $n$ . Entonces, la secuencia que debe elegir es $1/n$ .