Irracionalidad de$2^{\frac{1}{n}}$ para$n > 2$

Question

Demuestre la irracionalidad de$2^{\frac{1}{n}}$ para$n > 2$

Entonces, suponemos que$2^{\frac{1}{n}}$ es racional (=$\frac{p}{q}$). Por lo tanto,$$2 = \frac{p^n}{q^n} \Rightarrow q^n + q^n = p^n$ $ y esto contradice el último teorema de Fermat. ¿Es esta una prueba correcta?

¿Qué te parece esta prueba?

Answer 1

Bueno, si$2=p^n/q^n$, entonces$2\cdot q^n=p^n$. Esto implica que 2 divisiones$p$; por lo tanto,$2^n$ divide$p^n$. Esto a su vez implica que$2^n$ divide$2\cdot q^n$, pero como$n>1$, 2 también debe dividir$q$. Esto es una contradicción.