Consejos para encontrar el grupo de Galois de un polinomio dado

Question

Actualmente estoy en una clase de introducción a la Teoría de Galois curso, y pensé que sería bueno para compilar una lista de los trucos para encontrar los Grupos de Galois de ciertos polinomios. Estoy estudiando de Stewart de la Teoría de Galois, y aunque el libro es de fácil lectura, que nos ha dado un ejemplo práctico (al parecer la "canónica" $t^4-2$). Aparte de algunos sencillos ejemplos dados en clase, me siento como que debería ser más seguro con estos métodos.

Soy consciente de que no hay un método para encontrar Grupos de Galois, pero cualquier consejo o trucos, cosas a tener en cuenta, etc, sería muy apreciada. Aunque estoy interesado en todas las respuestas, tenga en cuenta que este es un título de introducción a la Teoría de Galois, y, por ahora, solo vamos a trabajar sobre $\mathbb{C}$ (si usted es dueño de Stewart de la Teoría de Galois, mi clase está en la actualidad en el Capítulo 13). Además, sé que las preguntas de esta naturaleza se han preguntado antes, pero a menudo el enlace de respuestas a documentos / aluden a temas que no están cubiertos en un intro a nivel de la teoría de galois curso. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Aparte de las técnicas básicas, hay algunos hermosos teoremas de las matemáticas, que puede ayudarle a encontrar el grupo de Galois de un polinomio más racionales. El teorema se llama Dedekind y el Teorema de Frobenius que se puede encontrar en Dummit Foote Álgebra libro de Cogeneración. 13 y David Cox de la teoría de Galois.

El teorema dice que si reducir un polinomio irreducible modulo de los números primos no dividir el discriminante del polinomio se obtiene información acerca de los elementos del grupo de Galois.

Ejemplo: Si g es un polinomio de grado 5. La reducción de la polinomio modulo algunos de los mejores, si g sigue siendo irreductible, esto significa Galois grupo 5-ciclo. Si g divisiones como cuadrática veces tres lineal de los polinomios. Esto significa grupo de Galois tiene un elemento de orden 2, es decir, la transposición. Por lo tanto, por un teorema de la teoría de grupo puede concluir que G es S_5. También hay un probabilístico manera de encontrar el grupo de Galois mediante el uso de Chebotarev densidad teorema. Sin embargo, esta técnica probabilística falla algunas veces, como en el grado 8.

Vea lo siguiente para más detalles.

http://www.math.colostate.edu/~hulpke/papel/gov.pdf http://www.math.colostate.edu/~hulpke/charlas/galoistalk.pdf

http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/Lenstra-Chebotarev.pdf http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/galoistheory/galoisSnAn.pdf