Encuentre un polinomio$p(x,y)$ con la imagen de todos los números reales positivos

Question

Encuentra un polinomio$p(x,y)$ tal que

• para cada$(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tenemos$p(x,y) > 0$, y
• para cada $a>0$ $\exists (x,y)$ : $p(x,y) = a$.

Veo que$p(x,y)$ debe tener una constante, pero ¿cómo puede elegir$p$ para lograr cada valor positivo?

Tal vez no exista tal polinomio, en cuyo caso quiero demostrarlo.

Answer 1

Sugerencia Una forma de producir un (verdadero) polinomio $p$ que sólo toma valores no negativos, es escribir una suma de cuadrados $$p(x, y) := q(x, y)^2 + r(x, y)^2,$$ and we can ensure that the sum is always positive by insisting that the squared quantities $q(x, y), r(x, y)$ are never simultaneously zero. On the other hand, we can ensure that the $p$ asume arbitrariamente pequeños valores positivos por la elección de

• $r$ a ser idéntica a cero en algunos curva de $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ (para el adecuado $r$ podemos tomar $\gamma$ a la curva definida por $r(x, y) = 0$), y
• $q$ que se toma arbitrariamente pequeños valores positivos a lo largo de $\gamma$.

(Por supuesto, desde la $q, r$ no pueden ser simultáneamente cero, $q(\gamma)$ no puede contener su infimum, y por lo tanto la curva de $\gamma$ no puede ser compacto.)

Solución de Una simple noncompact curva es la hyperboloid $x y = 1$, y por la construcción $$r(x, y) := x y - 1$$ vanishes identically there. On the other hand, we can parameterize one arc of this hyperboloid by $\gamma: s \mapsto (\frac{1}{s}, s)$, $s > 0$. Along this curve, we thus have $$p(\gamma(s)) = p\left(\frac{1}{s}, s\right) = q\left(\frac{1}{s}, s\right)^2 + r\left(\frac{1}{s}, s\right)^2 = q\left(\frac{1}{s}, s\right)^2.$$ Now, $q\left(\frac{1}{s}, s\right)^2$ will take on arbitrarily small positive values---but no nonpositive values---if we take, e.g., $$q(x, y) := x.$$ Thus, by construction $$p(x, y) = q(x, y)^2 + r(x, y)^2 = x^2 + (xy - 1)^2$$ tiene las propiedades deseadas.

Observación , Ya que para cualquier no constante de un polinomio variable $u(x)$ tenemos $\lim_{x \to \infty} u(x) = \infty$ o $\lim_{x \to \infty} u(x) = -\infty$, e igualmente para los límites de $x \to -\infty$, la de Heine-Borel Teorema implica que $u$ asume ninguna finito infimum o supremum, es decir, el fenómeno en este problema se produce sólo para funciones reales de al menos dos variables.