Caracterización teórica grupal de$\mathbb Q$ y$\mathbb Q^\star$

Question

$\mathbb Z$ puede caracterizarse en lenguaje teórico de grupo como el grupo cíclico infinito. Pero, ¿qué tipo de grupo es$\mathbb Q$ bajo adición? Qué pasa $\mathbb Q^\star$? ¿Qué tipo de estructura de subgrupo tienen, y existe una forma canónica de seleccionarlos como grupos?

Answer 1

El grupo aditivo$\mathbb Q$ es el grupo divisible libre de torsión mínimo no trivial.

Answer 2

Hay una presentación de $\mathbb{Q} = \langle (x_n)_{n \geq 1} : (n \cdot x_{nk} = x_k)_{n,k \geq 1} \rangle$ donde $x_n$ corresponde a $\frac{1}{n}$. Esto también puede ser visto como la colimit del diagrama de $(\mathbb{N}^+,|) \to \mathsf{Ab}$ que se asigna a cada $k \geq 1$ a $\mathbb{Z}$ y una relación de divisibilidad $k|m$ a la multiplicación por $\frac{m}{k} : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. En realidad, este modo arbitrario localizaciones puede ser construido (véase, por ejemplo, Eisenbud, el libro de álgebra conmutativa), y $\mathbb{Q}$ es la localización de la $\mathbb{Z}$-módulo de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$.

La no-trivial subgrupos de $\mathbb{Q}$ contienen algunos entero $\neq 0$, lo que induce a un automorphism de $\mathbb{Q}$, de modo que este número entero puede ser asumida $=1$. La clasificación por lo tanto, equivale a una clasificación de los subgrupos de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Esto es bien conocido, son de la forma $\bigoplus_{p} A_p$, donde para cada uno de los prime $p$ bien $A_p$ es $\langle \frac{1}{p^n} \bmod \mathbb{Z} \rangle \cong \mathbb{Z}/p^n$ para algunos $n$ o $\langle \frac{1}{p^n} \bmod \mathbb{Z} : n \geq 1 \rangle \cong \mathbb{Z}/p^\infty$.

Como para $\mathbb{Q}^*$, podemos utilizar el primer factorizations para obtener una suma directa de descomposición $\{\pm 1 \} \times \bigoplus_{p} \mathbb{Z}$. Dudo que podemos clasificar a los subgrupos (sin entrar en la teoría de conjuntos ...). Al menos, tenemos algunos canónica subgrupos, a saber, los inducidos por la sumandos. Los subgrupos que contengan $\pm 1$ e $\bigoplus_{p} 2\mathbb{Z}$ correpsond a los sub-espacios vectoriales de $\bigoplus_p \mathbb{F}_2$, que ya son horribles.

Answer 3

Si caracterizas a$\mathbb Q$,

puede ver ese$Aut(\mathbb Q)\cong \mathbb Q^* $, así que puede ver$\mathbb Q^*$ como un grupo de automorfismo de$\mathbb Q$.

Y para$\mathbb Q$, hay una manera fácil de usar "Anillos";

$\mathbb Q$ es el campo de fracción de$\mathbb Z$.