Dada esta ecuación:$4x^3+5=y^2$
Encuentra los pares ordenados de$(x,y)$ donde$x,y\in Z$
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$4x^3+5=y^2$, se multiplica por $16$, $(4x)^3+80=(4y)^2$, $u^3+80=v^2$ con $u=4x$, $v=4y$, $u^3=(v+4\sqrt5)(v-4\sqrt5)$. Los enteros en ${\bf Q}(\sqrt5)$ son conocidos por ser una única factorización de dominio. Nada que divide ambas $v+4\sqrt5$ e $v-4\sqrt5$ debe dividir su diferencia, $8\sqrt5$. Ahora $2$ es irreducible en este anillo, por lo que la única posible irrreducible factores comunes son $2$ e $\sqrt5$. Si $\sqrt5$ es un divisor común, a continuación, $5$ divide $v$, de donde $5$ divide $u$, de donde $25$ divide $80$, contradicción. Si $2$ es un divisor común, a continuación, $2$ divide $v$ lo $2$ divide $u$ lo $8$ divide $v^2$ lo $4$ divide $v$ lo $16$ divide $u^3$ lo $4$ divide $u$ y obtenemos $$\left({u\over4}\right)^3=\left({v+4\sqrt5\over8}\right)\left({v-4\sqrt5\over8}\right)$$ and now the two terms on the right are relatively prime and each must be a unit times a cube.Let's take the case where each is a cube. $${v+4\sqrt5\over8}=\left({a+b\sqrt5\over2}\right)^3$$ gives $$v=a^3-15ab^2,\qquad4=3a^2b+5b^3$$ The second equation implies $b$ divides $4$, so $b$ is one of the numbers $\pm1,\pm2,\pm4$. Pero todos estos son vistos fácilmente a ser imposible.
El caso donde hay una unidad involucrada es probablemente más difícil. Tal vez alguien más puede tomar hasta --- no estoy seguro de cuándo voy a encontrar el tiempo para volver a ella. La unidad fundamental es $(1+\sqrt5)/2$.
Eelco Hoogendoorn
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Esta es una curva elíptica, y parece que ha infinitamente muchos puntos racionales (generado por (1,3)). También es un ejemplo de "Mordell la Ecuación de" curvas de la forma $y^2 = x^3 + D$ (en el caso de D = 80). Muchas cosas se sabe acerca de sus soluciones integrales. Usted puede encontrar este artículo por Keith Conrad a ser interesante. El artículo de Wikipedia sobre el tema de los enlaces a una gran fuente de datos, así.
Olive Bee
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