Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

4 votos

Secuencia de isometrías con rangos mutuamente ortogonales.

Sea(Wn)nN una secuencia de isometrías enB(H) con rangos ortogonales de pares, es decir,WnWm=0 para todosnm. Quiero mostrar que siF es un operador de rango finito, entonces existen0 suficientemente grande para que para todosnn0 tengamosFWn=0.
Creo que esto debería ser equivalente a la afirmación de queWn convierte SOT a cero. Sin embargo, no sé cómo mostrarlo.

4voto

user161825 Puntos 2296

Si (Wn)N es una secuencia de isometrías, usted nunca puede tener la Wnx0 para x0, ya que el . Que es, usted nunca puede tener la W_n\rightarrow 0 en el fuerte del operador de la topología. Pero con sus supuestos, usted tiene W_n x \rightarrow 0 débilmente, es decir, \langle y,W_n x\rangle\rightarrow 0 para todos los y\in H.

Deje P_n el valor de la proyección ortogonal en \mathrm{Ran}(W_n). Entonces tenemos \lvert \langle y, W_n x\rangle \rvert = \lvert \langle P_n y, W_n x\rangle \rvert \leqslant \lVert x\rVert \lVert P_n y \rVert.\la etiqueta{1} Desde \sum_{n=1}^\infty \lVert P_n y \rVert ^2 \leqslant \lVert y \rVert<\infty, llegamos a la conclusión de que \lVert P_n y \rVert\rightarrow 0 as n\rightarrow \infty, y por lo tanto W_n\rightarrow 0 en la débil operador de la topología.

Ahora, si F tiene rango finito, escoge una base ortonormales (f_1,\ldots,f_k) de % de\mathrm{Ran}(F). A continuación, nos encontramos de (1) que \lVert FW_n x\rVert^2=\sum_{j=1}^k \lvert \langle f_j , W_n x\rangle \lvert^2 \leqslant \lVert x \rVert ^2 \sum_{j=1}^k \lVert P_n f_j \rVert^2. Desde \sum_{j=1}^k \lVert P_n f_j \rVert^2 \rightarrow 0 as n\rightarrow \infty, se deduce que el FW_n\rightarrow 0 en la norma.

Hasta ahora tan bueno. En cuanto a tu pregunta, aquí es un contador de ejemplo: supongamos \phi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\times\mathbb{N} ser un bijection. Para n\in\mathbb{N}, vamos a \mathcal{H}_n=\ell^2(\mathbb{N}) con el estándar de base ortonormales e_{n,j}(k)=\begin{cases} 1, &j=k, \\ 0, & j\neq k. \end{casos} Entonces podemos considerar que el espacio de Hilbert separable \mathcal{H}=\bigoplus_{n=1}^\infty \mathcal{H}_n, con base ortonormales (e_{n,j})_{(n,j)\in \mathbb{N}^2}. Definir una secuencia de isometrías W_k:\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H} W_k(\sum_{n,j\in\mathbb{N}}x_{n,j}e_{n,j})=\sum_{i=1}^\infty x_{\phi(l)}e_{k,l}. A continuación,\mathrm{Ran}(W_n)=\mathcal{H}_n. Por último, defina y=\sum_{n,j\in \mathbb{N}}y_{n,j} e_{n,j}=\sum_{n,j\in \mathbb{N}}2^{-\frac{n+j}{2}} e_{n,j} y deje F(x)=\langle y,x\rangle y ser la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por y. Entonces \langle y, FW_k y\rangle = \langle y,W_k y\rangle = \sum_{i=1}^\infty y_{k,l}y_{\phi(l)}>0, lo que descarta FW_k=0.

1voto

Studer Puntos 1050

Los subespacios(\text{ran}\,W_n)\cap (\ker F)^\perp=(\text{ran}\,W_n)\cap \overline{\text{Im}\,F^*}=(\text{ran}\,W_n)\cap {\text{Im}\,F^*} are pairwise orthogonal subspaces of \ text {Im} \, F ^ * , que es de dimensión finita. Por lo tanto, sólo finamente muchos son distintos de cero.

En consecuencia, desde $$ (\ text {ran} \, W_n) \ cap (\ ker F) ^ \ perp \ ne \ {0 \} \ iff FW_n \ ne0, $$ tenemos eseFW_n\ne0 para Sólo finamente muchosn.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X