Sea$(W_n)_{n\in \Bbb {N}} $ una secuencia de isometrías en$B (H ) $ con rangos ortogonales de pares, es decir,$W_n^*W_m=0$ para todos$n\neq m $. Quiero mostrar que si$F $ es un operador de rango finito, entonces existe$n_0$ suficientemente grande para que para todos$n\geq n_0$ tengamos$FW_n=0$.
Creo que esto debería ser equivalente a la afirmación de que$W_n $ convierte SOT a cero. Sin embargo, no sé cómo mostrarlo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si $(W_n)_{\mathbb{N}}$ es una secuencia de isometrías, usted nunca puede tener la $W_n x \rightarrow 0$ para $x\neq 0$, ya que el $\lVert W_nx \rVert = \lVert x \rVert$. Que es, usted nunca puede tener la $W_n\rightarrow 0$ en el fuerte del operador de la topología. Pero con sus supuestos, usted tiene $W_n x \rightarrow 0$ débilmente, es decir, $\langle y,W_n x\rangle\rightarrow 0$ para todos los $y\in H$.
Deje $P_n$ el valor de la proyección ortogonal en $\mathrm{Ran}(W_n)$. Entonces tenemos $$ \lvert \langle y, W_n x\rangle \rvert = \lvert \langle P_n y, W_n x\rangle \rvert \leqslant \lVert x\rVert \lVert P_n y \rVert.\la etiqueta{1} $$ Desde $\sum_{n=1}^\infty \lVert P_n y \rVert ^2 \leqslant \lVert y \rVert<\infty$, llegamos a la conclusión de que $\lVert P_n y \rVert\rightarrow 0$ as $n\rightarrow \infty$, y por lo tanto $W_n\rightarrow 0$ en la débil operador de la topología.
Ahora, si $F$ tiene rango finito, escoge una base ortonormales $(f_1,\ldots,f_k)$ de % de$\mathrm{Ran}(F)$. A continuación, nos encontramos de (1) que $$ \lVert FW_n x\rVert^2=\sum_{j=1}^k \lvert \langle f_j , W_n x\rangle \lvert^2 \leqslant \lVert x \rVert ^2 \sum_{j=1}^k \lVert P_n f_j \rVert^2. $$ Desde $\sum_{j=1}^k \lVert P_n f_j \rVert^2 \rightarrow 0$ as $n\rightarrow \infty$, se deduce que el $FW_n\rightarrow 0$ en la norma.
Hasta ahora tan bueno. En cuanto a tu pregunta, aquí es un contador de ejemplo: supongamos $\phi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ ser un bijection. Para $n\in\mathbb{N}$, vamos a $\mathcal{H}_n=\ell^2(\mathbb{N})$ con el estándar de base ortonormales $$ e_{n,j}(k)=\begin{cases} 1, &j=k, \\ 0, & j\neq k. \end{casos} $$ Entonces podemos considerar que el espacio de Hilbert separable $\mathcal{H}=\bigoplus_{n=1}^\infty \mathcal{H}_n$, con base ortonormales $(e_{n,j})_{(n,j)\in \mathbb{N}^2}$. Definir una secuencia de isometrías $W_k:\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$ $$ W_k(\sum_{n,j\in\mathbb{N}}x_{n,j}e_{n,j})=\sum_{i=1}^\infty x_{\phi(l)}e_{k,l}. $$ A continuación,$\mathrm{Ran}(W_n)=\mathcal{H}_n$. Por último, defina $y=\sum_{n,j\in \mathbb{N}}y_{n,j} e_{n,j}=\sum_{n,j\in \mathbb{N}}2^{-\frac{n+j}{2}} e_{n,j}$ y deje $F(x)=\langle y,x\rangle y$ ser la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por $y$. Entonces $$ \langle y, FW_k y\rangle = \langle y,W_k y\rangle = \sum_{i=1}^\infty y_{k,l}y_{\phi(l)}>0, $$ lo que descarta $FW_k=0$.
Studer
Puntos
1050
Los subespacios$$(\text{ran}\,W_n)\cap (\ker F)^\perp=(\text{ran}\,W_n)\cap \overline{\text{Im}\,F^*}=(\text{ran}\,W_n)\cap {\text{Im}\,F^*}$$ are pairwise orthogonal subspaces of $ \ text {Im} \, F ^ * $, que es de dimensión finita. Por lo tanto, sólo finamente muchos son distintos de cero.
En consecuencia, desde $$ (\ text {ran} \, W_n) \ cap (\ ker F) ^ \ perp \ ne \ {0 \} \ iff FW_n \ ne0, $$ tenemos ese$FW_n\ne0$ para Sólo finamente muchos$n$.
