$\int_0^{+\infty}{ \sin{(ax)} \sin{(bx)}}dx=?$

Question

¿Cómo puedo calcular la integral:$$\int_0^{+\infty}{ \sin{(ax)} \sin{(bx)}}dx$ $ ??

Me quedé atorado.. :/

¿Podrías darme alguna pista?

¿Tengo que usar la siguiente fórmula?

$\displaystyle{\sin{(A)} \sin{(B)}=\frac{\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}}{2}}$

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align}&\color{#66f}{\large\int_{0}^{\infty}\sin\pars{ax}\sin\pars{bx} \,\dd x} ={1 \over 4}\int_{-\infty}^{\infty}\braces{% \cos\pars{\bracks{a - b}x} -\cos\pars{\bracks{a + b}x}}\,\dd x \\[3mm]&={\pi \over 2}\int_{-\infty}^{\infty}\bracks{% \expo{\ic\pars{a - b}x} -\expo{\ic\pars{a + b}x}}\,{\dd x \over 2\pi} =\color{#66f}{\large% {\pi \over 2}\bracks{\delta\pars{a - b} - \delta\pars{a + b}}} \end{align}

Answer 2

Si$a,b\neq0$, entonces el conjunto$A:=\{x\in [0,2\pi/b]: |\sin(ax)|>1/2\}$ no está vacío (de lo contrario, cambie$a,b$). $A$ está abierto, por lo tanto, existe$\epsilon>0$, por lo que$B:=\{x\in A: |\sin(bx)|>\epsilon\}$ no está vacío. Dado que$B$ está abierto, tiene una medida Lebesca positiva. Resulta que

$$\int_0^\infty |\sin(ax)\sin(bx)|=\infty$ $ y la integral no existe. (Maneras similares muestran que tanto las partes positivas como negativas son infinitas también).

Answer 3

Esta integral no converge, pero uno puede hacer un poco de sentido de todos modos como una generalización de la función de $a$ e $b$. Específicamente, el resultado es una suma de funciones delta de Dirac. Para mostrar esto, el uso de la identidad de Euler para expresar las funciones de seno como las funciones exponenciales. Después de un poco de simplificación, usted tendrá varios términos y cada uno puede ser evaluado usando la función delta de Dirac es la transformada de Fourier de expansión: \begin{equation} \delta(p) = {1\over2\pi}\int_{-\infty}^\infty dx e^{i p x} \end{equation}

Edit: Para que quede claro, esta es una especie de análisis avanzado. Si esto era una tarea problema para una clase de primaria y usted nunca ha oído hablar de alguna de las técnicas o fórmulas que he mencionado, el buscado después de la respuesta probablemente es simplemente "integral" no existe lo que puede ser demostrado a través de los argumentos de otros carteles.

Answer 4

Esta integral no convergerá ya que la función oscila para siempre sin ningún tipo de amortiguación y la primitiva no tiene límite.

Answer 5

Para el trivial de los casos $a \ne 0$, $b \ne 0$ el integrando $$ f(x) = \sin(ax)\sin(bx) $$ es oscilating en algún lugar entre el $1$ e $-1$ y eso significa que el área neta $I$ por debajo de la integral oscilates demasiado y no convergen hacia un determinado valor para el límite superior de ir hacia la $\infty$. $$ I = \lim_{\beta\to\infty}\int\limits_0^\beta \sen(ax)\sin(bx) \, dx \en \left\{ \mbox{indefinido}, \pm \infty \right\} $$ El infinito de los casos suceden por $a=b$, debido a que, a continuación, $f(x)=\sin^2(ax) \ge 0$ e de $a=-b$ porque $f(x) =-\sin^2(ax) \le 0$.

Ejemplo gráfico:

Demasiado perezoso para hacer la integración de mí, me preguntó Wolfram Google killer para una respuesta y tengo $$ \int \sen(ax)\sin(bx) \, dx = \frac{b\sen(ax)\cos(bx)-a\cos(ax)\sin(bx)}{a^2 - b^2} + \mbox{const} \implica \\ I = \lim_{x->\infty} \frac{b\sen(ax)\cos(bx)-a\cos(ax)\sin(bx)}{a^2 - b^2} $$

que medidas necesarias mí algo que me golpeó los tres casos.