Fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton

Question

Aquí está la pregunta.

Considere una partícula de masa $m$ que lleva una carga $q$. Suponga que la partícula está bajo la influencia de un campo eléctrico $\mathbf{E}$ y un campo magnético $\mathbf{B}$ de manera que la trayectoria de la partícula está descrita por la ruta $\mathbf{x}(t)$ para $a\le{t}\le{b}$. Entonces la fuerza total actuando sobre la partícula está dada por la fuerza de Lorentz $$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}),$$ Donde $\mathbf{v}$ denota la velocidad de la trayectoria.

(a) Usando la segunda ley de Newton ($\mathbf{F}=m\mathbf{a}$), donde $\mathbf{a}$ denota la aceleración de la partícula, mostrar que $$m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}=q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}$$

Entonces una sustitución rápida da como resultado $$m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=(q\mathbf{E}+q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}))\cdot\mathbf{v}$$ Así que creo que el siguiente paso es $$=q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}+q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}$$ Y como el producto punto de esos dos últimos es $0$, obtenemos nuestro resultado. Pero aquí es donde tengo problemas (nuevo en integrales de línea)

(b) Si la partícula se mueve con velocidad constante, usa (a) para mostrar que $\mathbf{E}$ no realiza trabajo a lo largo de la trayectoria de la partícula

Así que $$\int_C{q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}}=\int_C{m\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}}=\int_C{m\frac{d\mathbf{v}}{dt}}\cdot\mathbf{v}$$ Pero no estoy seguro de cómo proceder...

Answer 1

El problema es que no solo la fuerza producida por el campo eléctrico actúa sobre la partícula, si esto fuera así, entonces la partícula se aceleraría (estaríamos sujetos a una fuerza no nula, esto es la Segunda Ley de Newton), por lo tanto, hay una fuerza que se opone a la del campo eléctrico ${\bf F} = -q{\bf E}$, solo así ${\bf v}$ puede ser constante. El trabajo realizado por esta fuerza es

$$W= \int_{t_a}^{t_b} {\bf F \cdot v }dt = -q\int_a^b {\bf E}\cdot d{\bf s} $$

La segunda integral muestra que esto puede interpretarse como el trabajo realizado por (o más bien en contra) del campo eléctrico.