Ve de A a D en tres pasos iguales

Question

Dadas dos rectas paralelas $r$ e $s$, la línea de $p$, perpendicular a ambos, y los puntos de $A$ e $D$ en los diferentes lados de $p$ con respecto a las líneas paralelas, ¿cómo puedo probar la existencia de dos puntos, $B$ e $C$, respectivamente, en $r$ e $s$, de tal manera que los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$ son congruentes?

Prefiero constructiva de la prueba, para que sea una solución más general útil para resolver esta pregunta también. (también geométrica, las pruebas son divertidas)

He aquí dos ejemplos que he construido en inversa (I equipadas que las líneas de los puntos y no viceversa):

Answer 1

Deje $a,x,d,y$ las distancias que se muestran en la imagen y $t=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}$

Entonces tenemos

$$a^2+x^2=t^2\tag{1}$$ $$d^2+y^2=t^2\tag{2}$$ $$(x-y)^2+e^2=t^2\tag{3}$$ Si añadimos $a^2d^2$ a $(3)$ y reordenar los términos obtenemos $$x^2+a^2-2xy+y^2+b^2+e^2=t^2+a^2+d^2$$ una más $$2xy=t^2+e^2-a^2-d^2\tag{4}$$ si la sustituimos por $(1)$ e $(2)$. El cuadrado de $(5)$ y la sustitución de nuevo por $(1)$ e $(2)$ da $$4(t^2-a^2)(t^2-d^2)=(t^2+e^2-a^2-d^2)^2\tag{5}$$ $(5)$ es una ecuación de grado $4$ en $t$ pero cuadrática en $t^2$: $$3t^4-2t^2(a^2+d^2+e^2)+(2a^2d^2+2a^2e^2+2d^2e^2)-(a^4+d^4+e^4)=0$$ Así que puede ser fácilmente resuelto. El discriminante $\Delta$ de la ecuación cuadrática satisface $$\frac{1}{8}\Delta=(a^2-d^2)^2+(a^2-e^2)^2+(d^2-e^2)^2\ge0$$ Para la segunda imagen podemos empezar con las ecuaciones

$$a^2+x^2=t^2$$ $$d^2+y^2=t^2$$ $$(x+y)^2+e^2=t^2\tag{6}$$

pero nos gustaría obtener las mismas soluciones, porque las ecuaciones sólo se diferencian en el signo de $y$ en $(6)$