Cálculo: la línea tangente se interseca con una curva en dos puntos. Encuentra el otro punto.

Question

La línea tangente a $y = -x^3 + 2x + 1$ al $x = 1$ interseca la curva en otro punto. Hallar las coordenadas del otro punto.

Esto nunca fue enseñado en la clase, y tengo una prueba de esta mañana. Esta pregunta salió de mi examen de prueba de hoja de cálculo, y no entiendo cómo resolverlo. Las respuestas están en la parte de atrás, y por esto se dice que la respuesta es (-2,5), pero no entiendo cómo conseguir que.

Hice la derivada y sustituidos 1 x para obtener la pendiente de la recta:

$y = -x^3 + 2x + 1$

$y' = -3x^2 + 2$

$y' = -3 + 2$

$y' = -1$

No sé a dónde ir desde aquí.

Answer 1

En primer lugar, describir el normal método de cálculo y, a continuación, una aproximación más conceptual.

Método de cálculo: Usted puede encontrar la ecuación de la línea tangente. Después de algún trabajo que usted va a terminar con $y=3-x$.

Sustituto $3-x$ para $y$ en la ecuación de la curva. Nos encontramos con una ecuación cúbica $x^3-3x+2=0$.

Esta ecuación ha $x=1$ como una raíz. Divida $x^3-3x+2$ por $x-1$. Usted recibirá $x^2+x-2$, que factores como $(x-1)(x+2)$. Que da el $x=-2$.

Enfoque Conceptual: Sólo imaginar encontrar la ecuación de la línea tangente, como lo hicimos anteriormente, pero no hacer el trabajo real. Cuando sustituimos por $y$ en la ecuación de la curva, nos encontramos con una ecuación cúbica de la forma $P(x)=x^3+ax+b=0$.

Ya que no estamos haciendo el trabajo, no vamos a encontrar $a$ o $b$.

La línea tangente en $x=1$ besos de la curva de a $x=1$. Por lo tanto la ecuación de $P(x)=0$ ha $x=1$ como una doble raíz. Por lo que la suma de las raíces es $1+1+w$ donde $w$ es nuestro misterio de número.

La suma de las raíces de la $P(x)=0$ es el negativo del coeficiente de $x^2$, en este caso, $0$. Por lo $1+1+w=0$ y, por tanto,$w=-2$.

Answer 2

En primer lugar, es$f(1)=2$, por lo que la línea tangente pasa por el punto$(1,2)$ y su pendiente es$k=f'(1)=-3\dot{}1+2=-1$. Entonces, la línea tangente está dada por la ecuación$t(x)=kx+c=-x+c$ para algunos$c\in{}R$. Podemos determinar fácilmente que$c$ a partir del hecho de que la línea tangente está pasando a través de$(1,2)$. Obtenemos$$t(x)=-x+3$ $ Ahora estamos buscando todo$x\in{}R$ tal$t(x)=f(x)$. Esta ecuación es equivalente a$$0=t(x)-f(x)=x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2)$ $ Así que$x=1\vee{}x=-2$ y así la línea tanget intersecta la curva en$(1,2)$ (que ya sabemos, por supuesto) y en$(-2,5)$.

Answer 3

Su declaración de que "Esto nunca fue enseñado en la clase" podría asombrar a su instructor. Pero incluso si no, es muy razonable esperar que se requerían para hacer solo lo que alguien ha demostrado cómo hacerlo. Y esto está tan cerca del camino trillado de que no es un buen ejemplo de algo que no podría haber sido demostrado cómo hacerlo.

Al$x=1$,, a continuación, $y=2$ por lo que tiene una línea que pasa a través de $(1,2)$ con pendiente $-1$. En cursos anteriores has aprendido a escribir una ecuación para la línea.

Ahora necesita el punto de intersección de las gráficas de las dos ecuaciones, $y=−x^3+2x+1$ y de uno a otro. Usted probablemente ha visto los problemas como que antes, y si no, aplicar un poco de sentido común, y si eso no funciona, entonces nos dicen con especificidad en qué punto se ejecutó en dificultad.

Answer 4

Si permitimos que$f(x)=-x^3+2x+1$, entonces conocemos el derivado en$x=1$, es decir,$f'(1)=-1$. Ahora sabemos la pendiente de la línea tangente$t(x)$. En particular, esto implica$t(x)=-x+c$ para alguna constante$c \in \mathbb{R}$.

También podemos calcular un punto en la línea, a saber,$(1,f(1))$. Esto da el valor de$t(1)=f(1)$, que se puede usar para resolver$c$.

Luego encuentre el otro punto donde se intersecan$f(x)$ y$t(x)$, es decir, donde$f(x)-t(x)=0$.

Answer 5

Sugerencia: una línea que satisfaga la ecuación de "forma punto-pendiente"$(y-y_0)=m(x-x_0)$ pasa por el punto$(x_0,y_0)$ y tiene una pendiente$m$. En el caso de nuestra línea tangente, $$ x_0 = 1 \\ y_0 = f (x_0) = f (1)$$ and $$m=f'(1)=-1$ $ (como usted calculó correctamente).

Ahora que tiene las dos curvas, ajústelas para resolver sus intersecciones.