Una desigualdad sobre la traza del producto de dos matrices

Question

Supongamos que tenemos dos $n \times n$ matrices semidefinidas positivas, $A$ y $B$ , de tal manera que $\mbox{tr}(A), \mbox{tr}(B) \le 1$ .

¿Podemos decir algo sobre $\mbox{tr}(AB)$ ? Es $\mbox{tr}(AB) \le 1 $ ¿también?

Answer 1

En el espacio de las matrices semidefinidas positivas, la traza es un producto interno propio (es fácil demostrarlo), es decir, obedece a la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $\langle x,y \rangle \leq \sqrt{ \langle x,x \rangle \langle y,y\rangle}$ . Así que

$$\mbox{tr}\{AB\}\leq \sqrt{\mbox{tr}\{A^2\} \mbox{tr}\{B^2\}}$$

Ahora bien, como $A$ es semidefinido positivo, $\mbox{tr}\{A^2\} \leq \mbox{tr}\{A\}^2$ es decir, los valores propios de $A^2$ son valores propios al cuadrado de $A$ y como son positivos

$$\mbox{tr} \{A^2\} = \sum_{i=1}^{N}\lambda_{i}^{2}\leq \left( \sum_{i=1}^{N}\lambda_{i} \right)^{2} = \mbox{tr}\{A\}^2 \leq 1$$

Un argumento similar para B demuestra $\mbox{tr}\{B^2\}\leq 1$ . Así que $\mbox{tr}\{AB\}\leq 1$ . Espero que esto responda a su pregunta.

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $(A-B)^{2}$ es semidefinido positivo, por lo que tenemos:

$$0\leq\mathrm{Tr}(A-B)^{2}=\mathrm{Tr}(A^{2})+\mathrm{Tr}(B^{2})-2\mathrm{Tr}(AB)$$

$$\mathrm{Tr}(AB)\leq\frac{1}{2}(\mathrm{Tr}(A^{2})+\mathrm{Tr}(B^{2}))$$

En segundo lugar, para $A$ semidefinida positiva, supongamos que todos los valores propios son $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , $\cdots$ , $\lambda_{n}$ entonces $\lambda_{i}\geq0$ y $\mathrm{Tr}A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\leq1$ Así que $\mathrm{Tr}(A^{2})=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{2}\leq\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\leq1$ .

De la misma manera, $\mathrm{Tr}(B^{2})\leq1$ Así que $\mathrm{Tr}(AB)\leq1$ .

Observación. De forma más general, podemos concluir que el rango de $\mathrm{Tr}(AB)$ es $[0,1]$ .

Como $A$ y $B$ son semidefinidos positivos, por lo que existe $C$ y $D$ tal que $A=C^{T}C$ y $B=D^{T}D$ Así que $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(C^{T}CD^{T}D)=\mathrm{Tr}(CD^{T}DC^{T})=\mathrm{Tr}[CD^{T}(CD^{T})^{T}]\geq0$ .

Set $A=diag[1,0,0,\cdots,0]$ y $A=diag[0,1,0,\cdots,0]$ entonces $\mathrm{Tr}(AB)=0$ .

Set $A=B=diag[1,0,0,\cdots,0]$ entonces $\mathrm{Tr}(AB)=1$ .

De acuerdo con lo anterior, podemos concluir que $\text{Range}(\mathrm{Tr}(AB))=[0,1]$ .

Answer 3

También se puede encontrar una ampliación de la respuesta de @dineshdileep aquí , en el que demuestra que: $$tr(A^TB)\le \sqrt{tr(A^TA)tr(B^TB)}$$