Fórmula 9.121.19 de IS Gradshteyn y IM Ryzhik. - Tabla de Integrales, Series y Productos establece que
PS
¿Alguien sabe acerca de una prueba?
Me interesa probarlo porque surge en la evaluación de la integral.
PS
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Método 1
La ecuación hipergeométrica $$t(1-t)w''+\left[c-(a+b+1)t\right]w'-ab w=0$$ tiene dos soluciones linealmente independientes. Uno tiene la forma $1+\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_kt^k$ y otro $t^{1-c}(1+\sum_{k=1}^{\infty}\beta_kt^k)$ as $t\rightarrow 0$, con unos coeficientes de $\alpha_k,\beta_k$. La primera solución se llama $_2F_1(a,b,c;z)$. Por lo tanto, para obtener la mencionada identidad, es suficiente
Verificar la ecuación diferencial \begin{align} \biggl\{-\tan^2z\left(1+\tan^2z\right)\frac{d}{d(\tan^2z)}\frac{d}{d(\tan^2z)}-\left[\frac32+\left(n+\frac52\right)\tan^2 z\right]\frac{d}{d(\tan^2z)}\\ -\frac{(n+1)(n+2)}{4}\biggr\}\frac{\sin n z\cos^{n+1}z}{n \sin z}=0. \end{align} Esto es sencillo de la diferenciación y de la trigonometría.
Verificar el líder de comportamiento como $t\rightarrow 0$ (es decir,$z\rightarrow0$). De hecho, $\displaystyle \frac{\sin n z\cos^{n+1}z}{n \sin z}\rightarrow 1$ para $z\rightarrow 0$.
Tenga en cuenta que no es necesario asumir que $n$ es un número entero.
Método 2
A pesar de que el método proporciona una manera relativamente fácil a prueba, no explica por qué dicha identidad debe mantener. Una de las cosas detrás de esto es la existencia de lo que se llama cuadrática transformaciones para la función hipergeométrica de Gauss. En particular, uno tiene $$_2F_1(a,b,2b;s)=\left(1-\frac{s}{2}\right)^{-a}{}_2F_1\left(\frac{a}{2},\frac{a+1}{2},b+\frac12;\left(\frac{s}{2-s}\right)^2\right).$$ Configuración $a=n+1$, $b=1$ en esta fórmula, obtenemos $$_2F_1(n+1,1,2;s)=\left(1-\frac{s}{2}\right)^{-n-1}{}_2F_1\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+2}{2},\frac32;\left(\frac{s}{2-s}\right)^2\right).\tag{1}$$ A la derecha tenemos la función hipergeométrica de la identidad que queremos demostrar. La función hipergeométrica de la izquierda, por otro lado, puede ser fácilmente demostrado (por ejemplo, mediante la representación de enteros de $_2F_1$) elemental: $$_2F_1(n+1,1,2;s)=\frac{(1-s)^{-n}-1}{ns}.\tag{2}$$ Su identidad se obtiene a partir de (1) y (2) después de la configuración de $s=1-e^{-2iz}$.
