Si$f\in L^2([0,1]^2)$, ¿qué podemos decir sobre$g(x)=f(x,x)$?

Question

Supongamos que $L^2([0,1]^2)$ es el espacio de clases de equivalencia de cuadrado integrable funciones de $f:[0,1]^2\to\mathbb R$ con la costumbre de la norma dada por $$ \|f\|_2=\biggl(\int_0^1\int_0^1|f(x,y)|^2dxdy\biggr)^{1/2}. $$ Con un abuso de notación, la función y la equivalencia de la clase se representa por el mismo símbolo $f$ (en lugar de usar $f$ para la función y $[f]$ para su clase de equivalencia).

Supongamos que $f\in L^2([0,1]^2)$ y establezca $g(x)=f(x,x)$ por cada $x\in[0,1]$. ¿Qué podemos decir acerca de $g$? Podemos decir que el $g\in L^2([0,1])$?

Supongamos que $f,f_1,f_2,\ldots\in L^2([0,1]^2)$ tal que $f_n\to f$ as $n\to\infty$ en $L^2([0,1]^2)$. Conjunto $g(x)=f(x,x)$, $g_1=f_1(x,x),g_2=f_2(x,x),\ldots$ para cada una de las $x\in[0,1]$. Podemos decir que el $g_n\to g$ as $n\to\infty$ en $L^2([0,1])$?

Cualquier ayuda se agradece mucho!

Answer 1

La respuesta es no como se indica en los comentarios anteriores, aquí hay simplemente una respuesta más detallada. Deje que$[\tilde{f}]\in L^2([0,1]^2)$, aquí$[\tilde{f}]$ denota la clase de todas las funciones igual a$\tilde{f}$ hasta conjuntos de medida cero. Defina un mapa$f(x,y)$ por $$ f (x, y) = \begin{cases} \tilde{f}(x,y) & \mbox{ if } x\neq y,\\ +\infty & \mbox{ if } x=y. \end {casos} $$ Luego$[f]=[\tilde{f}]$ pero la función$g(x):=f(x,x)=+\infty$ no es$L^2$ - integrable