¿Por qué dim(W)=dimW por ser una representación lineal?

Question

Primera vez preguntando aquí así que lo siento si es un poco torpe.

Mañana tengo que dar un seminario y mi profesor me ha ayudado con una de mis pruebas. La prueba consiste en demostrar que para cualquier grupo $G$ y cualquier subgrupo abeliano $A$ la siguiente afirmación es cierta:

El grado de cualquier representación irreducible de $G$ es menor o igual que $\frac{g}{a}$ con $g$ siendo el orden de $G$ y $a$ siendo el orden de $A$ .

Ya he demostrado que cualquier subrepresentación irreducible de un grupo abeliano tiene grado $1$ . Más adelante en mi prueba mi profesor escribió algo parecido:

$ \dim(\rho*W) = \dim(W) $ para $\rho$ siendo una representación lineal de $G$ en $V$ y $W$ siendo un subespacio de $V$ y $W$ siendo el espacio de representación de $A$ (subgrupo abeliano de $G$ ). Escribió algo sobre $\rho$ siendo un isomorfismo, pero hasta donde yo sé, las representaciones lineales suelen ser sólo (Grupo-)Homomorfismos pero no necesariamente Isomorfismos. Así que, ¿alguien puede explicarme por qué esta afirmación es cierta en este caso general, si es que es cierta?

Estaría muy agradecido si alguien me pudiera explicar esto. Mi principal problema es que $\rho$ (referido a cualquier elemento de $G$ ) es más o menos una Matrix. Multiplicando esta matriz por $W$ (por lo que cada elemento de $W$ ) no debe producir necesariamente un espacio vectorial con la misma dimensión que el espacio $W$ . Por ejemplo, veamos la matriz con $0$ en cada entrada. Multiplicando esta matriz por cualquier vector en $W$ me daría sólo el espacio vectorial que contiene $0$ que ciertamente no es $W$ .

Siento molestaros y espero que mi problema no sea algo completamente obvio, llevo horas desaparecido...

Answer 1

"Escribió algo sobre $\rho $ siendo un isomorfismo pero que yo sepa, las representaciones lineales suelen ser sólo (Grupo-)Homomorfismos pero no necesariamente Isomorfismos".

El problema es que estás siendo un poco descuidado sobre qué es exactamente una representación est . Si $\rho $ es una representación de $G$ en $V$ no existe $\rho W$ .

De hecho $\rho $ es precisamente un homomorfismo $\rho :G\to GL(V)$ donde $GL(V)$ es el grupo de mapas lineales invertibles (¿acotados?) de $V$ a sí misma. Así que no hay tal cosa como $\rho W$ En su lugar, podría hablar de $\rho (x)W$ para $x\in G$ .

Sí, $\rho $ es sólo un homomorfismo. Pero para cada $x\in G$ , $\rho (x)$ es un automorfismo de $V$ .

Cuando dices $\rho $ es más o menos una matriz por supuesto te refieres a $\rho (x)$ . Si la definición no especificara la invertibilidad como en el caso anterior, sino que permitiera cualquier matriz, observe que $\rho (x)$ es automáticamente invertible, ya que $\rho (x)\rho (x^{-1})=\rho(e)=I$ .