Demostrar

Question

Deje que $A,B,C$ y $D$ sean matrices complejas $n \times n$ complejo superior. Dejar

PS

Probar $$E=\begin{bmatrix} A&B\\C&D\\ \end{bmatrix}$ .

Hice este problema en el caso de que se conmuten las matrices pero no puedo resolver este caso.

Answer 1

Esto es suficiente para demostrar la identidad cuando la parte superior triangular de piezas de $A,B,C,D$ son independientes indeterminates (alternativamente, se puede probar la identidad para invertible $D$ primero, y luego pasar a $D$ hasta el límite). Tratar de justificar la primera igualdad a continuación, utilizando las propiedades de complemento de Schur (ver también esta entrada de la Wikipedia) y el segundo la igualdad de abajo con la condición de que $A,B,C,D$ son triangulares: $$ \det(E) =\det(A-BD^{-1}C)\det(D) =\det(A-BCD^{-1})\det(D) =\det(AD-BC). $$ (Edit. La siguiente parte es malo. Ver darij grinberg comentario.) Usted también puede tratar de demostrar que en Leibniz fórmula para el factor determinante de la $E$, sólo dos generalizada de las diagonales de $E$ no son de fuga, uno dado por la diagonal principal y el otro formado por las diagonales de $B$ e $D$. Pero este argumento me parece más difícil de estar redactada con claridad.