Existe una función continua$f$ tal que$f(\Bbb Q) \subseteq \Bbb R\setminus\Bbb Q$ y$f(\Bbb R\setminus\Bbb Q)\subseteq\Bbb Q$

Question

Verdadero o falso: No existe una función continua $f: \Bbb R \to \Bbb R$ tal que $f(\Bbb Q) \subseteq {\Bbb R}\setminus {\Bbb Q}$ e $f({\Bbb R}\setminus {\Bbb Q}) \subseteq {\Bbb Q}$.

Mi intento: yo estaba tratando de utilizar la secuencia de definición de continuidad. Considere la posibilidad de $a \in \Bbb R$ entonces tenemos un seqn ${x_n}$ de los números racionales convergentes a $a$ y tenemos un seqn ${y_n}$ de los números irracionales convergentes a $a$. Entonces, ¿qué va a ser $f(a)$? Estaba pensando que en un camino de $f(a) \in \Bbb Q$ y en el otro camino, $f(a) \in {\Bbb R}\setminus {\Bbb Q}$ . Pero yo estoy equivocado, $\{f(x_n)\} \subseteq {\Bbb R}\setminus {\Bbb Q}$ e $\{f(y_n)\} \subseteq {\Bbb Q}$ aún $f(a)$ puede estar en cualquier lugar.

Hay alguna forma de arreglar mi intento o cualquier otra idea posible?

Answer 1

Hay una buena prueba de este hecho, que no utiliza la cardinalidad. Asumir dichas $f:\Bbb R\to \Bbb R$ existe. Usted puede hacer dos modificaciones a $f$ que no lo cambio de la propiedad que $f(\Bbb Q) \subseteq {\Bbb R}\setminus {\Bbb Q}$ e $f({\Bbb R}\setminus {\Bbb Q}) \subseteq {\Bbb Q}$:

• Usted puede agregar un número racional a $f$, yo.e tome $\tilde{f}$ definido por $\tilde{f}(x)=f(x)+p/q$.

• Usted puede multiplicar $f$ por un número racional, i.e tome $\tilde{f}$ definido por $\tilde{f}(x)=(p/q)\times f(x)$.

Ahora defina $g=f\vert_{[0,1]}$. A continuación, $g$ es continua y acotada. Mediante la adición de un "gran" número racional a $f$ puede suponer $g\geq 0$. Multiplicando $f$ por un "pequeño" número racional positivo también puede suponer $g\leq 1$. Por último se han encontrado $g:[0,1]\to [0,1]$ que es continua y enviar los números racionales para irracional y a la inversa. Pero esto no es posible, como $g$ debe tener un punto fijo.