Valor máximo de $x\cos(x)$ en $[0, \pi/2]$

Question

Me gustaría encontrar el valor máximo de : $f(x) = x\cos(x)$ en $[0, \pi/2]$ . El gran problema que tengo es que $x$ está aumentando en este dominio y $\cos(x)$ está disminuyendo.

He intentado encontrar la derivada que es : $-\sin(x)x + \cos(x)$ pero encontrar su signo es tan difícil como el problema original.

Entonces, ¿hay algún atajo que me esté perdiendo?

Gracias.

Answer 1

Como ha señalado, debe resolver

$$f^\prime(x)=\cos(x)-x\sin(x)=0$$

en el intervalo $[0,\pi/2]$ .

Sugiero expresar $\cos(x)-x\sin(x)=0$ como $1-x\tan(x)=0$ y resolver

$$g(x)=1-x\tan(x)=0$$

por el método de Newton. Un esquema de la gráfica de $f(x) = x\cos(x)$ indica una solución ligeramente mayor que $\dfrac{\pi}{4}$ por lo que una buena opción para una conjetura inicial para la solución sería $x_0=\dfrac{\pi}{4}$

El método de Newton da la recursión $$\begin{eqnarray} x_{n+1}&=&x_n-\frac{g(x_n)}{g^\prime(x_n)}\\ &=&x_n+\frac{1-x_n\tan(x_n)}{\tan(x_n)+x_n\sec^2(x_n)} \end{eqnarray}$$

Esto da

$$x_1=\frac{\pi}{4}+\frac{1-\pi/4}{1+\pi/2}\approx0.869$$

que ya está cerca de la solución que está más cerca de $0.86$ .

Una iteración más debería dar una aproximación razonable.