Uno de los más frecuentes ejemplos para la transformación natural es el isomorfismo entre espacios vectoriales y sus dobles dobles dada por la evaluación mapa $$v \to eval_v$$ y se ha dado en contraste de isomorfismo entre $V$ e $V^{*}$ donde para la construcción de isomorfismo debemos elegir alguna base. Pero no estamos haciendo una elección arbitraria en caso natural también cuando optamos por hacer $$v \to eval_v$$ en lugar de, por ejemplo $$v \to 2\ eval_v$$ ? Alguien puede elaborar, lo que me estoy perdiendo aquí y por qué una opción es más arbitrario que el otro?
Respuestas
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sewo
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Podría mapear al doble del morfismo de evaluación, y eso le daría una transformación natural diferente . Pero si lo hace, debe hacerlo en todas partes , o los morfismos de conexión no coincidirán de la manera requerida.
Entonces, la intuición es en realidad que no hay espacio para hacer una nueva elección arbitraria independiente para cada objeto.
jmans
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3018
Matemáticamente precisa de la noción de transformación natural en todos los casos está dado por la categoría de teoría. No voy a entrar en detalles aquí, pero usted puede encontrar los detalles en cualquier libro de texto (por ejemplo, la Categoría de la Teoría en el Contexto, disponible en línea). Lo esencial es que los morfismos, en su caso, transformaciones lineales, son parte de una construcción del ser natural o no. En este caso, el isomorfismo natural entre un número finito de dimensiones de espacio vectorial y de su doble dual es que esa elección es coherente compatible con todas las transformaciones lineales en existencia. Intuitivamente, si una construcción depende de las opciones arbitrarias, entonces esas decisiones sabotear esta compatibilidad para al menos una transformación lineal. De nuevo, los detalles en cualquier libro de texto.
