¿Es menos probable establecer registros en un deporte (bajo ciertas suposiciones)?

Question

Problema

Deje $X_{j}$ el número de segundos $j$-th nadador lleva de un extremo de la piscina a la otra, donde $X_{1}, X_{2}, ...$ son yo.yo.d. con una distribución continua. Vamos a decir que el $j$-th nadador conjuntos de registros si $X_{j}$ es mayor que todos los de $X_{j-1}, ..., X_{1}.$

Es el caso de que "el 110 nadador establece un récord" independiente de el caso de que "el número 111 nadador establece un récord"?

Enfoque: Demostrar $P(I_{111}=1, I_{110}=1) = P(I_{111}=1)P(I_{110}=1)$ donde $I_{j}$ es un indicador de la variable aleatoria para la $j$-th persona configuración de un registro.

$P(I_{j} = 1) = \frac{1}{j}$, ya que por el yo.yo.d. propiedades, todos los de la primera $j$ nadadores son igualmente probables para establecer el récord.

$P(I_{111}=1, I_{110}=1) = \frac{109!}{111!}$, ya que soluciona el 111-th y 110-th nadadores en el registro de configuración de posiciones.

A continuación,

$$P(I_{111}=1, I_{110}=1) = \frac{109!}{111!} = \frac{1}{111 * 110} = P(I_{111} = 1) * P(I_{110} = 1).$$

Por lo tanto, los eventos en cuestión son independientes.

La intuición

Supongamos que un millón de los nadadores que participen en el concurso. Si el $999999$-th nadador establece un récord, el nadador, probablemente, completó la tarea en un increíble corto período de tiempo, ya que los $999998$ nadadores antes de que él tenía posibilidades de conjunto de registros. Esto significa que para el $1000000$-th nadador para establecer un nuevo registro, que ellos probablemente necesitarán para completar la tarea en un extremadamente raro cantidad de tiempo. Así, los eventos en cuestión son dependientes.

Pregunta

Estoy teniendo problemas para conciliar mi intuición con el resultado obtenido después de hacer el cálculo. Tengo la sospecha de que la clave está en el hecho de que $X_{j}$ son yo.yo.d., Alguna sugerencia?

Nota

La pregunta viene desde estratégico de la práctica y la tarea 4 de Stat110.

Answer 1

Aquí es otro argumento intuitivo:

• Una de las $110$ inicial nadadores fue más rápido que el otro $109$. Veamos que fue el más rápido y el tiempo que tomó
• Por simetría, cada uno de ellos era igualmente probable que sea más rápido, cada uno con una probabilidad de $\frac{109!}{110!}=\frac1{110}$, ya que cada una de las $110!$ pedidos de estos nadadores se supone que son igualmente probables
• Por similar argumento de simetría, el tiempo que toman la forma más rápida es independiente de que uno de los $110$ fue el más rápido
• Para el $111$th nadador para establecer un nuevo registro, que tienen que ir más rápido que todos los anteriores $110$ nadadores, que tiene probabilidad de $\frac{110!}{111!}=\frac{1}{111}$ considerando el $111!$ posible órdenes supone que son igualmente probables
• El caso de la $111$th nadador estableciendo un nuevo récord por lo tanto es independiente de la $110$th nadador estableciendo el récord anterior

Sospecho que esto encaja mejor con su simulación.

La probabilidad condicional de que el $111$th nadador establece un nuevo récord, dado que el $110$th nadador ha establecido el récord anterior es $\dfrac{\frac{1\times 1 \times 109!}{111!}}{\frac{1\times 109!}{110!}}=\frac{1}{111}$, que es la misma que la probabilidad incondicional de que la $111$th nadador estableció un nuevo récord.