"ir / ir a"$(x \to y)$ vs. "se asigna a"$(x \mapsto y)$

Question

Existe un convenio para determinar cuándo el uso de $\to$ vs cuando el uso de $\mapsto$? O es que hay algo de flexibilidad entre los dos?

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Solo he visto a $\to$ utiliza dentro de la notación de límites (es decir, nunca he visto nada como $\lim_{x {\color{red}\mapsto} a^+}\limits f(x)$) - que tiene sentido para mí.

Sin embargo, he visto ambos símbolos utilizados para la reasignación de una variable, por ejemplo si una pregunta se planteaba en términos de las variables que pueden cubierta de la (de lo contrario familiar), la estructura de una ecuación a los nuevos iniciados:

• Ex 1: para ayudar a un estudiante a familiarizarse con coordenadas esféricas reconocer que $\vec{r} = \left< 5\sin u \cos t, 5 \sin u \sin t, 5\cos u \right>$ para $u \in [0,\pi]$, $t \in [0, 2\pi]$ es la ecuación de una esfera en coordenadas polares por volver a escribir la expresión en términos de la más conocida de coordenadas esféricas $\phi$ e $\theta$, he visto tanto "vamos a $u \to \phi$ e $t \to \theta$" así como "vamos a $u \mapsto \phi$ e $t \mapsto \theta$."

• Ex 2: al realizar una sustitución (por ejemplo, durante la integración) que he visto "vamos a $u = x^2$," así como "vamos a $u \mapsto x^2$," así como "$x \mapsto x^2$."

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Me doy cuenta de que no hay casi universal de los convenios; así que estoy interesado igualmente en el razonamiento para cualquier aplicación específica (es decir, si usted realmente piensa que nunca debe ser intercambiados, me encantaría saber por qué).

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Contexto Y Motivación:

La mayor parte de mi (post-secundaria), matemáticas educación ha sido informal -- un casual se sumerge en muchos libros de texto diferentes; notas del curso de diferentes universidades; curso en línea, etc. para complementar la educación básica he recibido en matemáticas aplicadas durante mis física licenciatura -- y así me he encontrado muchos usos diferentes de la notación. No ha sido una piedra de tropiezo para mi entendimiento (al menos, no que yo sepa), pero se siente como el gran momento para mí ver en estos detalles. Gracias de antemano por su tiempo y ayuda.

Answer 1

Bueno, en vista de las asignaciones, la notación es, por ejemplo, $\exp:{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb R}_{>0}: x\mapsto e^x$ . El símbolo $\mapsto$ solo se usa para la asignación de elementos, mientras que el símbolo $\rightarrow$ tiene un uso más amplio.

Answer 2

Deje $f$ ser una asignación de dos conjuntos, $A$ e $B$. A continuación, escribimos $f: A\rightarrow B$. En otras palabras, $\rightarrow$ indica el dominio y el codominio de una asignación determinada.

Por otro lado, utilizamos $\mapsto$ para denotar lo que es un elemento arbitrario del dominio de forma explícita mapas. En otras palabras, escribimos $f: x\mapsto f(x)$ a mostrar que un elemento $x\in A$ mapas a $f(x)\in B$.

Como se puede ver en sus dos ejemplo, $\mapsto$ es de hecho la notación correcta, porque estamos specificying la asignación en virtud de la cual arbitraria elementos están cambiando.

Ampliamente, $\rightarrow$ es utilizado para demostrar que dos conjuntos de la asignación de $f$ es entre, y $\mapsto$ es utilizado para mostrar lo que la realidad "regla" de la asignación es.

Como se observa, $\rightarrow$ también se utiliza en los límites. Este es un uso independiente de este símbolo, donde aproximadamente el $x\rightarrow a$ significa "como $x$ tiende a $a$." Este es un distinto y separado de uso de las dos principales usos de $\rightarrow$ e $\mapsto$ que les comente anteriormente.