¿Para qué$a\in \mathbb R$ la integral es convergente?

Question

Para que $a\in \mathbb R$ la integral es convergente? $$ \int_0^{+\infty} x^{-5a} \ln(1+x^{2a})dx$$

En primer lugar, traté de usar: $$f(x)=\ln (1+x^{2a}), f'(x)=\frac{1}{1+x^{2a}}$$ $$g(x)=\begin{cases}{\frac{1}{1-5a} x^{1-5a} , a\neq \frac{1}{5}\\\ln x, a= \frac{1}{5}}\end {cases} , \text{ }g'(x)=x^{-5a} $$ A continuación, para $a\neq \frac{1}{5}$: $$\int_0^{+\infty} x^{-5a} \ln(1+x^{2a})dx= \lim_{M \rightarrow +\infty} [\frac{1}{5-a} x^{1-5a} \ln (1+x^{2a})]^M_0 -\frac{1}{1-5a}\cdot \int_0^{+\infty} x^{1-5a} \frac{1}{1+x^{2a}}dx$$However I know only that $\lim_{M \rightarrow +\infty} [\frac{1}{5} x^{1-5a} \ln (1+x^{2a})]^M_0$ is convergent for $a>\frac{1}{5}$ and again I create an integral ($\int_0^{+\infty} x^{1-5a} \frac{1}{1+x^{2a}}dx$) que no puede calcular fácilmente por lo que este método no es eficaz.

En segundo lugar he intentado utilizar la comparación Directa de la prueba, pero luego tengo: $$0\le x^{-5a} \ln(1+x^{2a}) \le x^{-5a}(1+x^{2a})$$y también no sé qué puedo hacer con él en este momento.

Tienes mejores ideas?

Answer 1

Si $a\leq 0$, entonces es claro que la integral diverge.

Si $a>0$, luego fija $\delta>0$ una integral de la forma $\int_0^{\delta}x^{-5a}\ln(1+x^{2a})\,dx$ converge si y sólo si $a<\frac{1}{3}$, porque cerca de cero $x^{-5a}\ln(1+x^{2a})\approx x^{-3a}$. Por otro lado, la integral de la $\int_{\delta}^{\infty}x^{-5a}\ln(1+x^{2a})\,dx$ converge si y sólo si $a>\frac{1}{5}$, como puede verse fácilmente en comparación a $x^{\beta}$ adecuado $\beta$. En resumen, la integral converge si y sólo si $\frac{1}{5}<a<\frac{1}{3}$.