No se puede resolver$ \int \frac{x + \sqrt{2}}{x^2 + \sqrt{2} x + 1} dx $?

Question

Esto viene de un problema más grande :- $$ \text{Evaluate } \int\frac{dx}{1+x^4} $$

Después de hacer $ \int \frac {dx}{1+x^4} = \frac{dx}{(1+x^2)^2 - (\sqrt{2}x)^2} $ y, a continuación, la aplicación parcial de la fracción método, yo tengo :-

$$ \int \frac{dx}{1 + x^4} =\frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{x + \sqrt{2}}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} dx - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{x - \sqrt{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} dx $$

Ahora, para la primera integral, traté de hacer un u-sustitución:-

$$ \text{Vamos a }x^2 + \sqrt{2}x + 1 = u \\ \frac{du}{dx} = 2x + \sqrt{2} \\ \implica du = (2x + \sqrt{2}) dx \\ $$

Como se puede ver, no es el mismo que el numerador, que es $$ (x + \sqrt{2}) dx $$

Consejos sobre cómo proceder ?

Answer 1

La sugerencia: $$\frac{x+\sqrt2}{x^2+\sqrt2x+1}=\frac{x+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}}{x^2+\sqrt2x+1}$$ and use $ \ ln$ and $ \ arctan $ .

Answer 2

Sugerencia: tenemos $$x^2+\sqrt{2}x+1=\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac{1}{2}$ $

Answer 3

$x+\sqrt2 = \frac{1}{2}(2x+2\sqrt2) = \frac{1}{2}(2x+\sqrt2)+\frac{1}{2}\sqrt2$

Deje $x^2+\sqrt2 \ x+1 = t \implies (2x+\sqrt2)dx = dt $

Entonces, la integral es

PS

La primera parte se evalúa en $$I = \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}+\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{dx}{(x^2+\sqrt 2 \ x+1)}$ . Convierta la segunda parte en la forma $\frac{1}{2}\ln t$ que se evalúa en $u^2+ a^2$

Answer 4

$\displaystyle \frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt2 x+1}=\frac{x+\sqrt{2}}{\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac12}$ .

Deje $\displaystyle x+\frac{\sqrt{2}}2=\frac{\sqrt2}2\tan\theta$ .