¿Dos agujeros en la gráfica al dividir polinomios?

Question

Lo siento si esto parece una pregunta tonta, o si ya ha sido contestada. Hice una búsqueda rápida y no encontré nada, así que aquí va.

Estoy enseñando una clase de álgebra en la escuela secundaria, y el libro que estoy haciendo dice que los estudiantes necesitan anotar restricciones en ambos el numerador y el denominador al dividir dos polinomios. Por ejemplo:

$$\frac{ \left(\frac{x^2-121}{x^2-4} \right)}{ \left(\frac{x+2}{x-11} \right)}$$

Obviamente habrá una asíntota en $x = -2$ pero el libro también sugiere que debería haber un agujero en el gráfico en $x = 11$ .

Sin embargo, al graficar la función en una calculadora gráfica (desmos, en este caso), se observa que la función es igual a $0$ cuando $x = 11$ . Cambiando el numerador del dividendo a algo como $(x² - 133)$ no altera la ecuación igualando a cero en $x = 11$ tampoco.

No $x = 11$ implican que $(x² - 133)/(x² - 4) ÷ (x+2)/(x-11)$ es en realidad $(x² - 133)/(x² - 4) ÷ 1/0$ o $(x² - 133)/(x² - 4) ÷ $ ?

Nota: la TI-83 también me da un mensaje de ERROR para esta función en $x = 11$ ¿así que tal vez sólo sea desmos?

Edición: ¡Lo siento! Olvidé incluir otro signo de división al hablar de este problema.

Answer 1

Siento la necesidad de ser pedante aquí, y quiero hacer una distinción entre la expresión $$\frac{(x^2-121)/(x^2-4)}{(x+2)/(x-11)}$$ y la función racional que representa.

La expresión no está definida en $x=11$ ya que no podemos evaluar $(x+2)/(x-11)$ cuando $x=11$ .

Sin embargo, la función racional que representa también puede escribirse como $$\frac{(x^2-121)(x-11)}{(x+2)(x^2-4)},$$ así que la función racional se define en $x=11$ porque se puede escribir como una fracción de polinomios para los que $11$ no es una raíz del polinomio en el denominador.

Hay varias buenas razones para hacer esta distinción, aunque no estoy seguro de que se haga habitualmente a nivel de instituto, pero citaré Wikipedia como fuente para demostrar que efectivamente se hace esta distinción.

Un inciso sobre el porqué de esta distinción

La versión abreviada es que, algebraicamente, podemos pensar en las funciones racionales como fracciones de polinomios. Por tanto, si dos fracciones son iguales, las funciones que definen también deben serlo.

Es decir, porque estas fracciones de polinomios son iguales, $$\frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{x^2-4}$$ deben representar la misma función.

Esto está relacionado con la idea de que los polinomios no son funciones. Véase esta pregunta para saber más sobre este tema.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\frac{(x^2-121)/(x^2-4)}{(x+2)/(x-11)}=\frac{(x-11)(x+11)/(x^2-4)}{(x+2)/(x-11)}=\frac{(x+11)(x-11)^2}{(x+2)(x^2-4)}.$$ Por lo tanto, $$\lim_{x\to11}\frac{(x^2-121)/(x^2-4)}{(x+2)(x-11)}=\lim_{x\to11}\frac{(x+11)(x-11)^2}{(x+2)(x^2-4)}=0.$$ En particular, este límite existe (en $\mathbb R$ ) y, por tanto, sí, hay un agujero ( $11$ no pertenece al dominio de $\frac{(x^2-121)/(x^2-4)}{(x+2)/(x-11)}$ ), pero no se puede ver si se representa gráficamente la función (cuando $x$ está cerca $11$ , $f(x)$ está cerca $0$ ).

Answer 3

Hay tres divisiones en la receta que has escrito, por lo que hay tres oportunidades para dividir por cero. Si $x = \pm 2$ la fracción en el numerador es una división por cero, por lo que es indefinida. Si $x = 11$ la fracción en el denominador es división por cero, por lo que es indefinida. Si $x = -2$ el denominador es cero, por lo que la fracción "grande" es indefinida. Esto pone "agujeros" en el gráfico en $-2$ , $2$ y $11$ .

Desmos aplica la identidad $$ \frac{\, \frac{a}{b}\, }{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \text{,} $$ por lo que "olvida" la división por cero cuando $x = 11$ porque ha olvidado que $d$ era un denominador. Este es un comportamiento incorrecto por parte de Desmos. Una identidad sólo tiene que ser una igualdad de valores cuando ambas expresiones (una a cada lado de la igualdad) están definidas. Como ya se ha explicado, la receta que escribiste no está definida en $x = 11$ por lo que los dos lados de la identidad no tienen por qué coincidir en $x = 11$ . (Y no es así: la igualdad es una relación entre valores e "indefinido" no es un valor. El ejemplo más sencillo de esto es " $1 = \dfrac{x}{x}$ ", que es una igualdad de valores para $x \neq 0$ y, puesto que al menos un lado está indefinido en $x = 0$ no tiene por qué ser una igualdad en $x = 0$ para que la identidad sea válida).

Answer 4

La insinuación de @Chappers es valiosa y merece una respuesta por sí sola.

Función declarada del OP \begin{align*} \frac{ \left(\frac{x^2-121}{x^2-4} \right)}{ \left(\frac{x+2}{x-11} \right)} \end{align*} es un cociente de funciones racionales con _dominio natural_ $\mathbb{R}\setminus\{-2,2,11\}$ que difiere de la función racional \begin{align*} \frac{(x^2-121)(x-11)}{(x+2)(x^2-4)} \end{align*} con dominio natural $\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ .

Los siguientes ejemplos _G.H. Hardy_ en Gaceta Matemática 1907, 4 pp. 13-14 puede ayudar a aclarar la situación.

• La función $\frac{x^2-1}{x-1}$ tiene no valor para $x=1$ para $x=1$ , $\frac{x^2-1}{x-1}$ carece estricta y absolutamente de sentido. El hecho de que su límite para $x=1$ es $2$ es totalmente irrelevante. Las funciones $\frac{x^2-1}{x-1}$ y $x+1$ son funciones diferentes. Son iguales cuando $x$ es no igual a $1$ .

• Del mismo modo, la función $y=\frac{x}{x}$ es $=1$ cuando $x \neq 0$ e indefinido para $x=0$ . Para calcular $f(x)$ para $x=0$ debemos poner $x=0$ en la expresión de $f(x)$ y realizar las operaciones aritméticas que la forma de la función prescribe, y esto no podemos hacerlo en este caso.

Answer 5

La función no está definida en $x = 11$ por lo que el gráfico tiene un agujero en ese punto.