Fórmula asintótica para los "números propios"$s_n$

Question

Mientras que la excavación a través de algunos de los viejos cuadernos de hoy, he encontrado un problema desde hace ya un tiempo que nunca fue capaz de resolver. Implica una secuencia de enteros positivos llamado el "auto de los números" define de forma tal que $s_n$ es el número n entero positivo para el cual la ecuación $$k+\text{digit sum of }k = s_n$$ no tiene solución (esto es en base 10, por cierto). Esta secuencia es A003052 en OEIS.

Parece que esta secuencia crece asintóticamente linealmente, y he intentado (pero no) para encontrar la forma asintótica de la tasa a la que crece:

$$r=\lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n}$$

¿Alguien puede averiguar cómo calcular el $r$, incluso en serie o de forma integral?

Nota: lo mejor que pude probar es que el $r < 25/2$.

Answer 1

U. Zannier en su papel En la Distribución de la Auto-Números de' demuestra un teorema sobre el número de auto números de menos de $x$, en concreto, $A(x)= Lx + O(\log^2(x))$ de positivos $L$. Usted puede invertir esta función para obtener una declaración acerca de la $n$th auto número creciente linealmente (en la misma manera que uno puede invertir el primer número teorema $\pi(x) \sim x/\log(x)$ a $p_n\sim n\log(n)$, teniendo cuidado con la analítica de asintótica inversos). No estoy seguro si de una manera exacta para calcular la constante es mencionado, pero que sería en algún lugar de mirar para tener una idea de cómo hacer lo que quieres hacer. Su $L$ para el separador decimal (o lo que se conoce en el papel como la escala de $g=10$) parece ser $\approx 0.0977$, que invertir para obtener el $r$ en su fórmula para ser $\approx 10.24$. No sé si hay una buena forma analítica.