Suma de raíces cúbicas en fracciones

Question

Encontré este problema, y entiendo la solución, pero no entiendo por qué hicieron la primera suposición. El problema:

La primera línea de la solución dice que:

La raíz cúbica de $1$ más la raíz cúbica de $2$ más la raíz cúbica de $4$ es un factor de $2-1$ .

¿Por qué se supone que esto resuelve el problema?

Answer 1

Señalan el hecho (no es una suposición) de que $$ (x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3-y^3$$ es decir $$ \frac{1}{x^2+xy+y^2} = \frac{x-y}{x^3-y^3}$$ Si utiliza eso para $x=1$ , $y=\sqrt[3]{2}$ , se obtiene $$ \frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}-1}{2-1} = \sqrt[3]{2}-1$$ Para obtener las otras dos fracciones utilice $x=\sqrt[3]{2}$ , $y=\sqrt[3]{3}$ y $x=\sqrt[3]{3}$ , $y=\sqrt[3]{4}$ .

Answer 2

Probablemente te están diciendo una forma de racionalizar el denominador para que puedas hacer la suma.

$1=2-1=(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{1})$

Asimismo,

$1=3-2=(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})$

y

$1=4-3=(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{9})$

por lo que se puede multiplicar la primera fracción por $\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1}}$ el segundo por $\frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}$ y la tercera por $\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}}$ y se obtiene $$\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1}}{2-1}+\frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{3-2}+\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}}{4-3}=\sqrt[3]{2}-1+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{4}-1$$

Answer 3

Sugerencia para explicar la cita:

utilice $x^3-1=(x-1)(1+x+x^2)$ con $x=\sqrt[3]2.$