Demuestre que existen conjuntos abiertos no vacíos U y V de $n \times n$ matrices sobre $\mathbb{R}$ tal que para cada matriz $A \in U$ existe exactamente una matriz $B \in V$ tal que $B^4 = A$ .
He intentado abordar este problema de varias maneras, utilizando polinomios característicos, la forma canónica de Jordan y hechos del cálculo, pero no he conseguido nada útil.
Creo que el teorema de la función implícita podría ser más directamente aplicable, ¿no? Sé que ambos son equivalentes, así que técnicamente no importa cuál usemos... pero parece que las hipótesis del teorema de la función implícita se satisfacen muy directamente.
@peek-a-boo Depende de cómo lo veas. Yo fijo la identidad y uso el teorema de la función inversa porque la derivada de la matriz cuarta potencia en la identidad es invertible, por lo que es un difeomorfismo local y listo. Tomas dos copias y calculas la derivada, etc.
Quizás, es que con el teorema de la función implícita, la demostración fue inmediata en mi cabeza. pero a pesar de ello, ¡esta es una muy buena pista! normalmente la gente aprende cálculo (multivariable) y álgebra lineal como asignaturas separadas, así que puede que ni siquiera se les ocurra que unir ambas asignaturas da una respuesta elegante
Utilizando el teorema de la función implícita, podemos obtener un resultado general.
Dejemos que $B_0\in M_n(\mathbb{R})$ , $spectrum(B_0)=(\lambda_i)$ , ${B_0}^4=A_0$ , $f:X\rightarrow X^4$ .
$\textbf{Proposition}$ . Si, para cada $(i,j)$ , $\lambda_i^3+\lambda_j^3+\lambda_i\lambda_j^2+\lambda_i^2\lambda_j\not= 0$ , entonces hay barrios abiertos $V,U$ de $B_0,A_0$ s.t. $f$ es un difeomorfismo de $V$ en $U$ .
$\textbf{Proof}$ . Basta con demostrar que la derivada $Df_{B_0}:H\in M_n\mapsto HB_0^3+B_0HB_0^2+B_0^2HB_0+B_0^3H$ es uno a uno.
Si apilamos fila por fila las matrices en vectores, entonces
$Df_{B_0}=I\otimes {B_0^3}^T+B_0\otimes {B_0^2}^T+B_0^2\otimes B_0^T+B_0^3\otimes I$ cf.
https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product
Desde el $4$ Las aplicaciones lineales anteriores conmutan por parejas, $spectrum(Df_{B_0})=(\lambda_i^3+\lambda_j^3+\lambda_i\lambda_j^2+\lambda_i^2\lambda_j)_{i,j}$ y hemos terminado.
Tenga en cuenta que, cuando $B_0=I$ todos los valores propios considerados son iguales a $4$ .
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I piense en puedes tomar $U$ y $V$ para ser el conjunto de matrices con $n$ valores propios positivos distintos.