¿Es correcta esta serie para Pi? ¿Y quién lo ha hecho antes?

Question

La idea era utilizar una serie infinita de triángulos. El rojo, luego el verde, luego el... para obtener el área de este sector, entonces el área del círculo es 16 veces esto. Si es un círculo unitario, el área debería ser igual a Pi.

Esta es la serie que obtuve usando el teorema de Pitágoras, ¿es correcta?

$$\begin{align} A&=3r^{2} + 12\sum_{ n=0}^{\infty}2^{n-1}x_{n}\left(1-\sqrt{r^{2}-\frac{x{_{n}}^{2}}{4}}\right),\\ x_{0}&=r\sqrt{2-\sqrt{3}} ,\\x_{n+1}&=\sqrt{2r^{2}-2r\sqrt{r^{2}-\frac{x{_{n}}^{2}}{4}}} \end{align}$$

Así-por-un-círculo

$$\begin{align} \pi&=3 + 12\sum_{ n=0}^{\infty}2^{n-1}x_{n}\left(1-\sqrt{1-\frac{x{_{n}}^{2}}{4}}\right),\\ x_{0}&=\sqrt{2-\sqrt{3}} ,\\x_{n+1}&=\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{x{_{n}}^{2}}{4}}} \end{align}$$

Answer 1

El cálculo numérico sugiere que usted ha cometido un error (o que yo lo he hecho, por supuesto).

from math import sqrt, pi

xs = [sqrt(2-sqrt(3))]

def f(x):
    return sqrt(2-2*sqrt(1-x*x/4))

def a(x):
    return 1 - sqrt(1-x*x/4)

for _ in range(50):
    xs.append(f(xs[-1]))

answer = 3+sum(2**(n-1)*xs[n]*a(xs[n]) for n in range(50))

print("answer=", answer)
print((pi-3)/(answer-3))

produce la salida

answer= 3.0117993877991496
11.999999999999849

¿Ha bajado un factor de $12$ ¿antes de la suma, tal vez?

Answer 2

Tenga en cuenta que, en $x_{n+1} =\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{x{_{n}}^{2}}{4}}} $ si $x_n = 2\sin(t) $ entonces

$\begin{array}\\ x_{n+1} &=\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{x{_{n}}^{2}}{4}}}\\ &=\sqrt{2-2\sqrt{1-\sin^2(t)}}\\ &=\sqrt{2-2\cos(t)}\\ &=2\sqrt{\dfrac{1-\cos(t)}{2}}\\ &=2\sin(\dfrac{t}{2})\\ \end{array} $