La resolución de las ecuaciones es sin duda una muy natural y motivadora problema en Matemáticas. Históricamente, y en la práctica, una clase más importante de las ecuaciones son de ella de la forma
$$
P(x)=0
$$
donde $P(x)$ es un polinomio de cualquier grado con coeficientes de los números racionales.
Dos resultados más importantes del siglo XIX las matemáticas han sido:
- hay algunos números reales (por ejemplo, $\pi$) que no aparecen como soluciones de ecuaciones de este tipo;
- no hay una expresión explícita que involucran sólo a las cuatro operaciones básicas y los radicales que dan las soluciones de estas ecuaciones en general, cuando el grado de $P(x)$ es $\geq5$.
Por lo tanto, el conjunto de $\bar{\Bbb{Q}}$ de números algebraicos, es decir, el conjunto de reales (y complejo, ya que Gauss) los números que aparecen como soluciones de ecuaciones de este tipo es un subconjunto de todos los reales y los números complejos, pero no es explícito.
Por lo tanto, se convierte instantáneamente en un importante y muy natural, objeto de la investigación matemática.
Pronto descubre que $\bar{\Bbb{Q}}$ es un campo, es decir, que es cerrado bajo la suma, la multiplicación y satisface las propiedades habituales de estas operaciones, y además, que es algebraicamente cerrado, lo que significa que si nos permite considerar la posibilidad de ecuaciones polinómicas $P(x)=0$ donde los coeficientes del polinomio son números algebraicos, el conjunto de las soluciones sería todavía $\bar{\Bbb{Q}}$.
Entonces, gracias a Galois, vemos que el campo de $\bar{\Bbb{Q}}$ tiene un montón de simetrías y que estas simetrías permitir--en principio--para clasificar todos los intermedios de subconjuntos
$${\Bbb{Q}}\subseteq K\subseteq\bar{\Bbb{Q}}$$
que son en sí mismos campos.
El conjunto $G_\bar{\Bbb{Q}}$ de estas simetrías es en realidad un grupo y este grupo induce simetrías en muchos de los objetos que surgen de la geometría, porque es muy natural considerar algebraica de los subconjuntos del espacio (de cualquier dimensión) que están definidos por las ecuaciones polinómicas, en tantas variables como uno quiere, que tiene como coeficientes racionales, o algebraicas, números.
Esta es solo una pequeña sugerencia sobre cómo $\bar{\Bbb{Q}}$ es un juego de suma importancia en la matemática moderna.
