Demuestre que hay$n\in\mathbb{N}$ tal que$n!$ comienza con 1996

Question

Básicamente, la declaración dice que hay cierto número de $n$ tal forma que:

$$1996\cdot 10^k<n!<1997 \cdot 10^k$$

$$k + \log 1996<\sum_{i=1}^n \log i<k+\log 1997$$

Una buena idea de cómo resolver un problema similar se puede encontrar aquí, pero no he podido utilizar en este problema.

El origen de este problema es un misterio - lo he encontrado en una página donde la gente se enumeran sus personajes favoritos de los problemas de matemáticas, pero esto no tenía solución.

Answer 1

Como la pregunta, básicamente, los estados, el problema es que no existe enteros positivos $k$ e $n$ tales que

$$k + \log_{10} 1996 < \sum_{i=1}^n \log_{10} i < k + \log_{10} 1997 \tag{1}\label{eq1}$$

Esto significa, básicamente, demostrando que existe una $n$ tal que la parte fraccionaria de $\log_{10} n!$ entre $\log_{10} 1996$ e $\log_{10} 1997$, que tiene una diferencia de

$$\log_{10} 1997 - \log_{10} 1996 = 3.30037806\ldots - 3.30016053\ldots \approx 2.17 \times 10^{-4} \tag{2}\label{eq2}$$

En primer lugar, considere la posibilidad de

$$n_1 = 10^9 + 5 \times 10^4 \tag{3}\label{eq3}$$

La parte fraccionaria de la base de $10$ registro de esto es

$$\log_{10}(n_1) - 9 \approx 2.17 \times 10^{-5} \tag{4}\label{eq4}$$

A continuación, considere

$$n_2 = 10^9 + 10^5 \tag{5}\label{eq5}$$

La parte fraccionaria de la base de $10$ registro de esto es

$$\log_{10}(n_2) - 9 \approx 4.34 \times 10^{-5} \tag{6}\label{eq6}$$

Nota el valor de \eqref{eq6} es menor que la de \eqref{eq2}. Como el logaritmo de la función es estrictamente creciente, las partes fraccionarias de los logaritmos, a base de $10$, de los valores entre $n_1 + 1$ e $n_2$ debe ser mayor que la de $n_1$ dado en \eqref{eq4}. Como hay $50000$ de ellos, su suma es más de $50000$ veces el valor de \eqref{eq4}, con este producto se $\approx 1.08$. Como este es $\gt 1$, esto significa que cualquier fraccional intervalo mayor que en \eqref{eq6}, incluidos los de \eqref{eq2}, debe tener al menos un valor de $n$ entre $n_1$ e $n_2$ donde la parte fraccionaria de $n!$ se encuentra en este rango (de lo contrario, significa que el valor más pequeño de $n$ justo después de que el rango debe ser $1$ más que el valor más grande justo antes de gama, por lo que el tamaño de la diferencia debe ser mayor que el rango, que no es posible aquí). Por lo tanto, hay un $n$ valor (en realidad, hay varios) en esta gama que satisface la pregunta, es decir, $n!$ comenzará con los dígitos $1996$.

Nota: esta prueba técnica puede ser generalizado para demostrar que cualquier secuencia de $m \ge 1$ dígitos, comenzando con un valor distinto de cero, tendrá, al menos, uno de los efectos positivos $n$ donde $n!$ comienza con estos dígitos. Sin embargo, como esta pregunta sólo se les preguntó específicamente para $1996$, sólo me dio el primer ejemplo que he encontrado. Me voy de la generalización a todo el que esté interesado, aunque le sugiero que comience con Dave L. Renfro's útil MO respuesta que proporcionó en un comentario más abajo.

Answer 2

Ejemplos

Mirando un par de ejemplos dan una pista de por qué habrá un número infinito de tales números. $$ \begin{align} 10003183!&=1.9957478783343368038\times10^{65679340}\\ 10003184!&=\color{#C00}{1.996}3833244587984566\times10^{65679347}\\ 10003185!&=1.9970191725476385839\times10^{65679354}\\ 100006487!&=1.9959743653614076660\times10^{756622452}\\ 100006488!&=\color{#C00}{1.996}1038641782323141\times10^{756622460}\\ 100006489!&=\color{#C00}{1.996}2333913579788396\times10^{756622468}\\ 100006490!&=\color{#C00}{1.996}3629469050779724\times10^{756622476}\\ 100006491!&=\color{#C00}{1.996}4925308239615811\times10^{756622484}\\ 100006492!&=\color{#C00}{1.996}6221431190626726\times10^{756622492}\\ 100006493!&=\color{#C00}{1.996}7517837948153934\times10^{756622500}\\ 100006494!&=\color{#C00}{1.996}8814528556550287\times10^{756622508}\\ 100006495!&=1.9970111503060180035\times10^{756622516} \end{align} $$ En el caso de $10003183!$, cuya mantisa es un poco pequeña, cuando multiplicamos el factorial por $10003184$, se multiplica la mantisa por $1.0003184$. Desde la mantisa es de aproximadamente $2$, se incrementa en aproximadamente un $0.0006368$, y que aporta $1.9957479$ a $1.9963833$.

En el caso de $100006487!$, cuya mantisa es un poco pequeña, cuando multiplicamos el factorial por $100006488$, se multiplica la mantisa por $1.00006488$. Desde la mantisa es de aproximadamente $2$, se incrementa en aproximadamente un $0.00012976$, y que aporta $1.9959743$ a $1.9961039$.

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Consideraciones Teóricas

$\newcommand{\bigO}[1]{\operatorname{O}\left(#1\right)}$ Para $n\ge8$ e $m^2\le2\log(10)\,10^n$, tenemos $$ \left\{\log_{10}\left(\frac{\left(10^n+m\right)!}{10^n!}\right)\right\}=\frac{m^2}{2\log(10)\,10^n}+\bigO{\frac1{10^{n/2}}}\tag1 $$ donde $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ es la parte fraccionaria de $x$. Así que para $$ m\approx\left(2\log(10)\,10^n\left\{\log_{10}(1996)-\log_{10}\left(10^n!\right)\right\}\right)^{1/2}\tag2 $$ debemos tener $$ \left\{\log_{10}\left(\left(10^n+m\right)!\right)\right\}\approx\left\{\log_{10}(1996)\right\}\tag3 $$ Si la aproximación en $(3)$ es un poco off, podemos ajustar las cosas señalando que $$ \begin{align} \left\{\log_{10}\left(10^n+m\right)\right\} &\approx\frac{m}{\log(10)\,10^n}\\ &\le\left(\frac2{\log(10)\,10^n}\right)^{1/2}\tag4 \end{align} $$ que es lo suficientemente pequeño para ajustar dentro de un intervalo de anchura $\log_{10}\left(\frac{1997}{1996}\right)\approx\frac1{1996\,\log(10)}$ cuando $n\ge8$.