Explica por qué una línea nunca puede intersecar un plano en exactamente dos puntos.

Question

¿Por qué una línea nunca puede cruzar un plano en exactamente dos puntos?

Sé que esto parece una pregunta realmente simple, pero me cuesta mucho encontrar la forma de responderla. También intenté buscar en Google la pregunta pero no pude encontrar una respuesta para exactamente lo que estoy buscando.

Answer 1

Si elige dos puntos en un plano y los conecta con una línea recta, entonces todos los puntos de la línea estarán en el plano.

Dados dos puntos, solo hay una línea que pasa esos puntos.

Así, si dos puntos de una línea se intersecan con un plano, entonces todos los puntos de la línea están en el plano.

Answer 2

Creo que estás teniendo problemas con la pregunta, porque no hay una respuesta satisfactoria. La declaración de "una línea puede nunca se interceptan un avión en exactamente dos puntos" es un axioma en algunos formalización de la geometría Euclidiana o sigue de forma tan directa de uno o dos de los otros axiomas en el sistema que la respuesta parece vacía de sentido, una reformulación de las definiciones (como en algunas de las buenas respuestas aquí).

Un axioma es un enunciado que es tomado como un hecho dado, y que es donde las matemáticas se inicia. La pregunta de por qué cualquier axioma existe o se justifica hasta cierto punto la filosofía de la ciencia en cuestión. En el caso de la geometría Euclidiana, creo que la respuesta es que las reglas parecen (en su mayoría) espejo de nuestra experiencia del mundo físico en el que habitamos y la matemática de los resultados del sistema conducen a la utilidad práctica de los resultados (útil en la construcción de una casa, por ejemplo).

Pero hay otros sistemas de geometría con diferentes/menos axiomas que parecen intuitivamente absurdo, sin embargo, producen resultados útiles también.

EDIT: véase la respuesta de Paul Sinclair

Answer 3

Como jberryman ha expresado, el verdadero problema aquí es lo que se entiende por una "línea" y un "plano". Tradicionalmente, estos son tomados como indefinido conceptos primitivos, y las ideas que dos puntos determinan una línea única, y que si dos puntos están en un plano, entonces la línea a través de los dos puntos se sitúan en su totalidad en ese plano se toman como axiomas.

El problema con las definiciones es que sólo pueden introducir nuevas ideas en términos de las ideas anteriores. Pero usted tiene que comenzar en alguna parte. La base de la terminología de una teoría, como la geometría, no puede ser definido de un modo normal. En lugar de ello, llamamos a estos términos "primitivas", y elegir algunas de las declaraciones, llamados "axiomas" o "postulados" con relación a cada uno de los otros que nos afirmar simplemente para ser verdad. Es esta lista de tipos primitivos y los axiomas que establecer cuál es la teoría que estamos trabajando es. En un sentido, los axiomas definir las primitivas, mediante el establecimiento de cómo se relacionan unos con otros.

Si bien es común para tratar la "línea" y "plano" como primitivos, no es absolutamente necesario. Se puede construir todo de la geometría Euclidiana sólo a partir de la primitiva término "punto" y la primitiva relación de estos dos puntos están más cerca de los dos puntos", y lo básico de la teoría de conjuntos. (No es recomendable hacerlo, ya que requiere un montón de insignificantes axiomas para asegurarse de que estos primitivos abarcar el comportamiento deseado, que minuciosamente confundir a los nuevos estudiantes de la asignatura.)

El esquema general de este enfoque es:

• Definir la distancia por clases de equivalencia en la relación "$A$ e $B$ no están ni de más cerca ni más lejos de $C$ e $D$"
• Definir "$B$ entre $A$ e $C$" si entre todos los puntos de $D$ a la misma distancia de $B$ como $C$, $C$ es el más alejado $A$.
• Definir "$A,B,C$ son colinear" si uno está entre los otros dos.
• Definir un conjunto de puntos a ser "linealmente" cerrado " si para cualquier par de puntos $A, B$ en el conjunto, si $C$ es colinear con ellos, entonces se $C$ también está en el conjunto.
• Una "línea" es un linealmente conjunto cerrado donde cada trío de puntos de colinear.
• El "span" de un conjunto de puntos es el más pequeño linealmente conjunto cerrado de puntos que lo contienen.
• Un "plano" es el lapso de un conjunto de tres no colinear puntos.

Con este sistema, es, por definición, que una vez que una línea y un plano de compartir dos puntos, la línea debe estar en el plano, como cada punto de la línea debe ser colinear con esos dos puntos, y por lo tanto debe estar en el avión, ya que el avión es linealmente cerrado.

Ya sea que elija para hacer algo de grandioso esquema de definiciones como la de arriba, o tomar la ruta simple de tener "línea" y "plano" como primitivas y que esta condición de un axioma, es algo que usted desea tener en su geometría, ya que expresa la idea de lo que queremos que un avión sea: algo que amplía la idea de la "rectitud" en otra dirección.

Answer 4

La ecuación de la línea: $\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}$ ...(1)

Ecuación del plano: $\alpha x+\beta y+\gamma z+\partial=0$...(2)

Para la intersección, cualquier punto en la línea $P(tl+a,tm+b,tn+c)$ debe estar en un plano demasiado. Conectar este punto en la ecuación de avión le dará una ecuación lineal en la $t$ , la cual puede dar exactamente un $t\in\mathbb R$ (intersección es un punto único) O una identidad $0=0$ cierto para todos los $t\in \mathbb R$ (intersección es una recta).

Answer 5

Un plano es un conjunto convexo. Una combinación convexa (es decir, lineal) de cualquiera de los dos puntos en un conjunto convexo estará dentro del conjunto. Entonces, si tienes dos puntos distintos en el plano, automáticamente tienes puntos infinitos dentro del plano.