Teoría de números del libro

Question

Si$p$ es un número primo, y$A=(1^2+1)(2^2+1) \cdots ((p-1)^2+1)$, encuentre el número$x<p$, tal que$A \equiv x \pmod p$.

Answer 1

También podemos usar los polinomios simétricos.

Considere el polinomio simétrico $\displaystyle\prod_{i=1}^{\frac{p-1}2}(1+x_i)=\sum_{j=0}^{\frac{p-1}2}e_j(x)$ donde $e_j$ es el $j$-th primaria polinomio simétrico. A continuación, $\displaystyle A\equiv(\sum_{j=0}^{\frac{p-1}2}e_j(y))^2$ donde $y_i$ pertenece al conjunto $QR:=\{1^2,\cdots,(\frac{p-1}2)^2\}$.

Ahora note que $QR$ se compone de las raíces de $x^{(p-1)/2}-1$ (en $\mathbb F_p$). Por lo $e_j(y)$ es $(-1)^j$ multiplicado por el coeficiente de $x^{\frac{p-1}2-j}$ en $x^{(p-1)/2}-1$. Por lo tanto $e_0(y)=1,\,e_{(p-1)/2}(y)=(-1)^{\frac{p+1}2}$, e $e_j(y)=0$ lo contrario.

Por lo tanto,$A\equiv(1+(-1)^{(p+1)/2})^2\pmod p$.

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Espero que esto ayude.

Answer 2

Suponiendo que$$(x-1)(x-2)...(x-(p-1))\equiv x^{p-1}\pm1\pmod{p}$ $ El lado izquierdo es$$(x^2-1^2)(x^2-2^2)...(x^2-({p-1\over2})^2)\pmod p$ $ Reemplace$x^2$ por$y$; y luego reemplace$y$ por$-1$. El lado izquierdo ahora es una raíz cuadrada de su producto$\pmod p$, dar o tomar una señal. El lado derecho es$1\pm1$.
¿Puedes completar los detalles?