Derivar la distribución T de Student utilizando el teorema de la transformación

Question

Estoy intentando trabajar en un ejercicio que me pide que demuestre que

Si $ X_1 \in N(0,1) $ y $ X_2 \in \chi^2(n) $ son variables aleatorias independientes, entonces $ X_1 / \sqrt{X_2/n} \in t(n) \, $ donde $ \,t(n) $ es la distribución T del estudiante.

Esta sección del libro trata de las funciones de las variables aleatorias y del teorema de la transformación (análogo multivariante del método de la función de distribución), por lo que quiero resolverlo específicamente con esa técnica.

Empecé poniendo $$ Y_1 = g_1(X_1,X_2)=X_1/\sqrt{X_2/n} $$ $$ Y_2 = g_2(X_1,X_2)=X_2 $$

y haciendo inversos $$ X_1=h_1(Y_1,Y_2)=Y_1\sqrt{Y_2/n} $$ $$ X_2=h_2(Y_1,Y_2)=Y_2. $$

De la cual obtengo el jacobiano $$ \begin{vmatrix}\sqrt{Y_2/n} & \frac{Y_1}{2n\sqrt{Y_2/n}}\\0 & 1\end{vmatrix}. $$

A partir de ahí quiero utilizar la independencia y calcular mi función de densidad como $$ f_{y_1y_2}(y_1,y_2)=f_{x_1}(\frac{Y_1}{\sqrt{Y_2/n}})*f_{x_2}(Y_2)*\sqrt{Y_2/n} $$

Creo que esto debería ser igual al $ t(n) $ densidad.

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Pero el resultado que obtengo parece ser incorrecto. Agradecería que alguien me dijera si mi forma de pensar al respecto es completamente errónea o si estoy en el camino correcto y puedo haber cometido un error de cálculo o algo más.

Gracias.

Answer 1

Ya casi lo tienes, es sólo cuestión de cálculos. Tenemos $$f_{X_1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ y $$f_{X_2}(y)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}I_{(0,\infty)}(y).$$

Ahora calculamos $f_{Y_1,Y_2}(x,y)$ que ha demostrado que está dada por

$$f_{Y_1,Y_2}(x,y)=f_{X_1}\bigg(\frac{x}{\sqrt{y/n}}\bigg)\cdot f_{X_2}(y)\cdot\sqrt{\frac{y}{n}} = $$ $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{yx^2}{2n}}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}I_{(0,\infty)}(y)\cdot\sqrt{\frac{y}{n}}$$ $$ = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n+1}{2}}\sqrt{\pi n}}e^{-y(\frac{x^2}{2n}+\frac{1}{2})}y^{\frac{n+1}{2}-1}I_{(0,\infty)}(y).$$

La densidad que queremos es la densidad marginal $f_{Y_1}$ de $f_{Y_1,Y_2}$ que es $$f_{Y_1}(t) = \int_{-\infty}^\infty f_{Y_1,Y_2}(t,y)\ dy = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n+1}{2}}\sqrt{\pi n}}e^{-y(\frac{t^2}{2n}+\frac{1}{2})}y^{\frac{n+1}{2}-1}I_{(0,\infty)}(y)\ dy = $$ $$ = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n+1}{2}}\sqrt{\pi n}} \int_0^\infty e^{-y(\frac{t^2}{2n}+\frac{1}{2})}y^{\frac{n+1}{2}-1}\ dy = $$ $$ = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n+1}{2}}\sqrt{\pi n}} \bigg(\frac{2n}{t^2+n} \bigg)^{\frac{n+1}{2}}\int_0^\infty e^{-u}u^{\frac{n+1}{2}-1}\ du = $$ $$ = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n+1}{2}}\sqrt{\pi n}} \bigg(\frac{2n}{t^2+n} \bigg)^{\frac{n+1}{2}}\Gamma\Big(\frac{n+1}{2}\Big) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})}\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\bigg( \frac{n}{t^2+n}\bigg)^{\frac{n+1}{2}}.$$

De ello se deduce que $Y_1 = \frac{X_1}{\sqrt{X_2/n}}$ tiene la distribución T del estudiante con $n$ grados de libertad.