Generalizada De La Cruz Del Producto

Question

Sé que la cruz del producto puede ser generalizado como $$\text{cross}(x_0,...,x_{n-1})=\det\begin{vmatrix}&x_0&\\&x_1&\\&\vdots&\\e_1&\cdots&e_n\end{vmatrix}$$ where $e_i$ is the $i$'th standard unit vector. We have $n-1$ vectors in $$n-dimensional en el Espacio Euclidiano, por lo que hay una dimensión ortogonal complemento a ese conjunto (si son independientes), y el producto cruzado anterior nos da un vector en el que el subespacio.

También sé que el "área"/"n-volumen" de un n-parallelopiped generado por los vectores $v_1,...,v_n$ está dado por $$\sqrt{\det A^TA}$$ where $A=\begin{bmatrix}v_0&\cdots&v_n\end{bmatrix}$. In three dimensions this reduces to $$\sqrt{\det\begin{bmatrix}a_0&a_1&a_2\\b_0&b_1&b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0&b_0\\a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}=\sqrt{||a||^2||b||^2-(a\cdot b)^2}=||a\times b||$$ I am wondering if it is true in general that, taking the cross product as defined above, $$||\text{cross}(x_0,...,x_{n-1})||=\sqrt{\det A^TA}\;\;\;\;\;\; A=\begin{bmatrix}x_0&\cdots&x_{n-1}\end{bmatrix}$$

El álgebra parece horrible, pero no puedo encontrar ninguna buena manera de demostrar (o refutar).

Answer 1

Si $x_1,\dotsc,x_{n-1} \in \mathbb{R}^n$, se define el $x_1 \times \cdots \times x_{n-1} \in \mathbb{R}^n$ a ser el único vector que $$\forall y \in \mathbb{R}^n, \quad \langle x_1 \times \cdots \times x_{n-1},s \rangle = \operatorname{det}(x_1,\dotsc,x_{n-1},y),$$ donde el factor determinante es ser visto como una función de las filas o columnas de la costumbre de la matriz argumento, es decir, como el único antisimétrica $n$forma $\operatorname{det} : \mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $\det(e_1,\dotsc,e_n) = 1$ $\{e_k\}$ el estándar ordenó a base de $\mathbb{R}^n$.

Ahora, supongamos que el $x_1,\dotsc,x_{n-1} \in \mathbb{R}^n$ son linealmente independientes, y por lo tanto, abarcan un hyperplane $H$ ($n-1$-dimensiones subespacio) en $\mathbb{R}^n$. Entonces, en particular, $x_1 \times \cdots \times x_{n-1} \neq 0$ es ortogonal a cada uno de los $x_k$, y por lo tanto define un valor distinto de cero vector normal a $H$; escribir $$x_1 \times \cdots \times x_{n-1} = \|x_1 \times \cdots \times x_{n-1}\|\hat{n}$$ for $\hat{n}$ the corresponding unit normal. Let $s \noen H$. Then $x_1,\dotsc,x_{n-1},y$ are linearly independent and span an $n$-dimensional parallelopiped $P$ with $$n-dimensional de volumen$$ |\operatorname{det}(x_1,\dotsc,x_{n-1},y)| = |\langle x_1 \times \cdots x_{n-1},s\rangle| = \|x_1 \times \cdots \times x_{n-1}\||\langle \hat{n},y\rangle|. $$Ahora, con respecto a la descomposición $\mathbb{R}^n = H^\perp \oplus H$, vamos$$ T = $$\begin{pmatrix} I_{H^\perp} & 0 \\ M & I_{H} \end{pmatrix}$$ $$para $M : H^\perp \to H$ dada por$$ M(c \hat{n}) = -c \langle \hat{n},y \rangle^{-1} P_H y = -c\langle \hat{n},y\rangle^{-1}(y-\langle\hat{n},y\rangle\hat{n}), $$where $P_H(v)$ denotes the orthogonal projection of $v$ onto $H$. Then $T(P)$ is a $n$-dimensional parallelepiped with with vertices $Tx_1 = x_1,\dotsc,Tx_{n-1}=x_{n-1}$, y$$ Ty = \langle \hat{n},y \rangle \hat{n} = P_{H^\asesino} y = y - P_H y, $$con el mismo volumen como $P$. Por un lado, desde la $Ty = y - P_H y$$ P_H y \in H = \{x_1 \times \cdots \times x_{n-1}\}^\perp$,$$\operatorname{Vol}_n(T(P)) = |\operatorname{det}(Tx_1,\dotsc,Tx_{n-1},Ty)|\\ = |\operatorname{det}(x_1,\dotsc,x_{n-1},y-P_H y)|\\ = |\operatorname{det}(x_1,\dotsc,x_{n-1},y)|\\ = \|x_1 \times \cdots \times x_{n-1}\||\langle \hat{n},y\rangle|.$$Por otro lado, desde$Ty \in H^\perp$,$T(P)$es un honesto cilindro con una altura de$\|Ty\| = |\langle \hat{n},y\rangle|$y la base de la$(n-1)$-dimensiones parallelopiped$R$atravesado por$x_1,\dotsc,x_{n-1}$, por lo que$$\operatorname{Vol}_n(T(P)) = \operatorname{Vol}_{n-1}(R)|\langle \hat{n},y\rangle|.$$Por lo tanto,$$\operatorname{Vol}_{n-1}(R)|\langle \hat{n},y\rangle| = \operatorname{Vol}_n(T(P)) = \|x_1 \times \cdots \times x_{n-1}\||\langle \hat{n},y\rangle|,$$así que$$\operatorname{Vol}_{n-1}(R)| = \|x_1 \times \cdots \times x_{n-1}\|,$$ como se requiere.

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EDIT: Teórico Anexo

Vamos a ver lo $\phi x_1 \times \cdots \times \phi x_n$ es en términos de $x_1 \times \cdots \times x_{n-1}$ $\phi$ una transformación lineal en $\mathbb{R}^n$.

Definir un lineal mapa de $T : (\mathbb{R}^n)^{\otimes(n-1)} \to (\mathbb{R}^n)^\ast$ por $$T : x_1 \otimes \cdots \otimes x_{n-1} \mapsto \operatorname{det}(x_1,\cdots,x_{n-1},\bala),$$ así que si $S : \mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^\ast$ es el isomorfismo $v \mapsto \langle v,\bullet \rangle$, luego $$x_1 \times \cdots \times x_n = (S^{-1}T)(x_1, \otimes \cdots \otimes x_n).$$ Ahora, dado que el determinante es antisimétrica, por lo que también es $T$, y, por tanto, $T$ desciende a una lineal mapa de $T : \bigwedge^{n-1} \mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^\ast$, $$x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \mapsto \operatorname{det}(x_1,\cdots,x_{n-1},\bullet);$$ de hecho, si $\operatorname{Vol} = e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ $\{e_k\}$ el estándar de la ordenada de base para $\mathbb{R}^n$, entonces para cualquier $y \in \mathbb{R}^n$, $$\langle x_1 \otimes \cdots \otimes x_{n-1},s \rangle \operatorname{Vol} = \operatorname{det}(x_1,\cdots,x_{n-1},y)\operatorname{Vol} = x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge y,$$ que, de hecho, muestra que $$x_1 \times \cdots \times x_{n-1} = \ast (x_1, \wedge \cdots \wedge x_{n-1}),$$ donde $\ast : \wedge^{n-1} \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es la Hodge $\ast$-operador. Por lo tanto, un producto cruzado es realmente un $(n-1)$-la forma en la orientación dependiente de disfraz dada por la Hodge $\ast$-operador; en particular, que realmente va a transformar en $(n-1)$-forma, como veremos ahora.

Ahora, vamos a $\phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ ser lineal. Observe que la matriz adjunta $\operatorname{Adj}(\phi)$ $\phi$ puede ser invariantly define como la única transformación lineal $\operatorname{Adj}(\phi) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tal que para cualquier $\omega \in \bigwedge^{n-1} \mathbb{R}^n$$y \in \mathbb{R}^n$, $$(\wedge^{n-1})\omega \wedge y = \omega \wedge \operatorname{Adj}(\phi) y,$$ por ejemplo, en nuestro caso, $$x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge \operatorname{Adj}(\phi) y = (\wedge^{n-1}\phi)(x_1, \wedge \cdots \wedge x_{n-1}) \wedge y = \phi x_1 \wedge \cdots \wedge \phi x_{n-1} \wedge y,$$ y que, como una matriz, $\operatorname{Adj}(\phi) = \operatorname{Cof}(\phi)^T$ donde $\operatorname{Cof}(\phi)$ denota el cofactor de la matriz de $\phi$. Entonces para cualquier $y$, $$\langle \phi x_1 \times \cdots \times \phi x_{n-1},s \rangle \operatorname{Vol} = \operatorname{det}(\phi x_1,\cdots,\phi x_{n-1},y)\operatorname{Vol}\\ = \phi x_1 \wedge \cdots \wedge \phi x_{n-1} \wedge y\\ = (\wedge^{n-1}\phi)(x_1, \wedge \cdots \wedge x_{n-1}) \wedge y\\ = (x_1, \wedge \cdots \wedge x_{n-1}) \wedge \operatorname{Adj}(\phi)\\ = \langle x_1 \times \cdots \times x_{n-1},\operatorname{Adj}(\phi) \rangle \operatorname{Vol}\\ = \langle \operatorname{R}(\phi)(x_1, \times \cdots \times x_{n-1}),y \rangle \operatorname{Vol},$$ y, por lo tanto, desde el $y$ fue arbitraria, $$\phi x_1 \times \cdots \times \phi x_{n-1} = \operatorname{R}(\phi)(x_1, \times \cdots \times x_{n-1}) = (\ast \circ \wedge^{n-1}\phi \circ \ast^{-1})(x_1, \times \cdots \times x_{n-1}),$$ en términos de la Hodge $\ast$-operación y el invariantly definidas $\wedge^{n-1}\phi$.