Raíces de la ecuación polinomial$x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64=0$

Question

Si $x_1,x_2,...,x_6$ ser las raíces de $x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64=0$ entonces tengo que mostrar que $|x_i|=2\space\space\space\forall i$

Entiendo que las raíces de la ecuación deben ser complejas, de la forma $a+ib$ donde $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}=2$ para todos los $|x_i|$. No entiendo cómo encontrar el valor de $a+ib$. ¿Cómo puedo encontrar las raíces?

Answer 1

Sugerencia: \begin{multline}x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64=\\=64\left(\left(\frac x2\right)^6+\left(\frac x2\right)^5+\left(\frac x2\right)^4+\left(\frac x2\right)^3+\left(\frac x2\right)^2+\frac x2+1\right).\end {multline}

Answer 2

$$x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64=0$$ Deje $z=x/2$, por lo que $$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$$ de $z \neq 1$ A continuación, $\frac{1-z^7}{1-z}=0 $ por lo $1-z^7=0$ por lo $z$ es el $n$ th raíz de $7$. de $x=2z$ ,lo $|x|=|2z|$ lo $|x|=|2z|=2$