¿Es cierto que en un grupo simple con 2 subgrupos Sylow abelianos un 2-subgrupo Sylow no está centralizado por un elemento no trivial de orden impar? Quizás sea útil el artículo de John Walter "La caracterización de grupos finitos con 2 subgrupos abelianos de Sylow".
Respuesta
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Sí. Según la clasificación de Walter, el nonabelian finitos simples grupos con abelian Sylow $2$-subgrupos son:
(i) ${\rm PSL}(2,q)$ con $q \equiv 3,5 \bmod 8$;
(ii) ${\rm PSL}(2,2^n)$ con $n \ge 2$;
(iii) La Ree grupos $R(3^e) = {}^2G_2(3^e)$ con $e$ impar;
(iv) La esporádicos Janko grupo $J_1$.
El Sylow $2$-subgrupos son primarias abelian en los cuatro casos, con las órdenes de $2^2$, $2^n$, $2^3$ y $2^3$, respectivamente.
Su normalizadores tienen órdenes de $12$ ($\cong A_4$), $2^n(2^n-1)$, $24$ ($\cong C_2 \times A_4$), y $168$, respectivamente, y son iguales a sus propios centralizadores en los cuatro casos, por lo que son centralizados por no trivial elemento de orden impar.
