Cálculo del número de partículas en el espacio de fase.

Question

Estoy mirando la primera parte de la pregunta 7 aquí (soy un matemático tratar de enseñar algo de física, esta no es una tarea tan sólo estoy en necesidad de sugerencias)! Yo estoy luchando para hacer sentido de la puesta en marcha, pero va a explicar lo que he hecho.

El número de partículas en el sistema es igual a: \begin{equation*} \int_{p_1}^{p_2}\int_{x_1}^{x_2}f(x,p,t)~dx~dp = \int_{p_1}^{p_2}\int_{x_1}^{x_2}f_1~dx~dp = N \end{ecuación*} donde $[p_1,p_2]$ es el rango de valores que el impulso de cada partícula lleva, y $[x_1,x_2]$ es el rango de valores de la posición de cada partícula lleva. Para trabajar fuera de estos rangos, puedo calcular la ecuación de movimiento para una partícula en el sistema - lo he hecho con las ecuaciones de Hamilton, pero voy a omitir los detalles porque creo que es de conocimiento común que este es un movimiento armónico simple: \begin{equation*} \ddot{x}=-\omega_1^2x \end{ecuación*}

que tiene solución $x=A\cos(\omega_1t)+B\sin(\omega_1t)$ donde $A$, $B$ son constantes de integración. Pero con el fin de trabajar fuera del rango de $x$ e $p$ necesito saber el valor de estas constantes de integración, pero no tenemos suficiente información, así que no estoy seguro de qué hacer.

Suponiendo por un segundo que yo sabía $A$ e $B$, serían las siguientes respuestas es correcta: $x$ debería tomar valores en $[-\sqrt{A^2+B^2},\sqrt{A^2+B^2}]$, y el uso de $p=m\dot{x}$, tendríamos:

\begin{equation*} p=Bm\omega_1\cos{\omega_1t}-Am\omega_1\sin{\omega_1t} \end{ecuación*}

y, por tanto, $p$ tomaría valores en $[-m\omega_1\sqrt{A^2+B^2},m\omega_1\sqrt{A^2+B^2}]$. Sustituyendo en la integral anterior y usando el hecho de que $f_1$ es constante, se obtiene: \begin{equation*} N=f_1(2\sqrt{A^2+B^2})(2m\omega_1\sqrt{A^2+B^2}) = 4f_1m\omega_1(A^2+B^2) \end{ecuación*}

Yo siento que esto no puede ser correcto como $E_1$ no entra en ello, y dado las notas de la conferencia probablemente debería estar usando el Teorema de Liouville, es solo que no estoy seguro de dónde.

Answer 1

La energía $E$ de un oscilador está dada por

$$E=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega_1^2x^2 $$

Esto define una elipse en el espacio de fase! Así que ahora, cuando $E=E_1$ todo dentro de la elipse definida por $E_1$ energético de menos de $E_1$. Para continuar con la búsqueda de los límites de la integración, se consideran los casos en que las partículas tienen todos los cinéticos o de todos a la energía potencial. Así, el momento máximo $P$ es definido por, $$E_1=\frac{P^2}{2m}$$ y la posición máxima, $X$ será definido por $$E_1=\frac12\omega_1^2X^2.$$ Esto es suficiente para definir una elipse con su mayor y menor de los radios. Así, haciendo un cambio de coordenadas te permitirá integrar. Pero, el área de una elipse es bien conocida, así que tal vez usted no tendrá que integrar debido a $f_1$ es constante.