Sustitución trigonométrica por pregunta integral.

Question

Estoy revisando mis pruebas para estudiar para a mitad de la mañana, y me encontré con un problema en el que estoy supone que la integran:
$$\int\frac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}}dx$$

He utilizado Mathematica para resolver el problema y estoy seguro de que me dio la respuesta correcta, que es: $$-\frac{\sqrt{4-x^2}}{4x}$$

Yo solía $ x = 2\sin{\theta}$ y $dx = 2\cos{\theta}$ $d\theta$ para resolver el problema, y sólo tengo a $$\frac{1}{8}\int{\frac{1}{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}}d\theta$$ Mirando paso a paso de la solución a través de WolframAlpha, utilizaron $\theta = \arcsin{\frac{x}{2}}$ a resolver el problema que no sé cómo. No creo que hay una necesidad de $\theta = \arcsin{\frac{x}{2}}$ a resolver el problema, y me pregunto si alguien me puede mostrar cómo solucionar este paso a paso sin el uso de $\theta = \arcsin{\frac{x}{2}}$? Tal vez me ayude a entender cómo?

Trigonométricas sustitución es el único método que estoy luchando, y consejos sobre la mejora de la trig sub habilidad, se agradecería demasiado.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que si$\theta=\arcsin\frac{x}{2}$ entonces$x=2\sin\theta$, entonces están usando la misma sustitución que usted.

Cuando incluye su punto que$\mathrm{d}x =2\cos\theta\mathrm{d}\theta$, está buscando$$\frac{1}{4}\int\frac{1}{\sin^2\theta}\mathrm{d}\theta=\frac{-\cos\theta}{4\sin\theta}$ $ Debe confirmarlo al diferenciar el lado derecho.

Ahora intente dibujar un triángulo que dé lugar a la relación$x=2\sin\theta\,$ para obtener una expresión en términos de$x$.