Inferencia en$P\left(\left.\sum_{i=1}^{N}X_{i}\ \right|\ \sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)$ cuando$X_{i}\sim\mathcal{N}\left(0,1\right)$?

Question

Vamos a:

$$X_{i}\overset{i.i.d}{\sim}\mathcal{N}\left(0,1\right)$$

Por lo tanto:

$$\sum_{i=1}^{N}X_{i}\sim\mathcal{N}\left(0,N\right)$$

y

$$\sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}\left(N\right)$$

¿Qué se puede decir acerca de la siguiente distribución:

$$P\left(\left.\sum_{i=1}^{N}X_{i}\ \right|\ \sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)\quad ?$$

Es decir, puedo observar que la suma de los cuadrados de las $X$'s y se desea hacer inferencia en la suma de $X$'s. El hecho de que $f\left(x\right)=x^{2}$ no es inyectiva hace complicado.

Así que, básicamente, lo que estoy preguntando es:

1. Puedo obtener una expresión analítica para $P\left(\left.\sum_{i=1}^{N}X_{i}\ \right|\ \sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)$?
2. Se pueden evaluar $P\left(\left.\sum_{i=1}^{N}X_{i}\ \right|\ \sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)$?
3. Hago saber algo acerca de los momentos de $P\left(\left.\sum_{i=1}^{N}X_{i}\ \right|\ \sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)$ o algo más?

Answer 1

$Y^2 = \sum X_i^2$ es invariante bajo rotaciones. Por lo tanto, $(X_1/Y, \ldots, X_n/Y)$ es distribuido uniformemente sobre la unidad de la esfera. En consecuencia, la distribución de cualquier combinación lineal

$$a_1 X_1 + a_2 X_2 + \cdots + a_n X_n = a Y \left(\frac{a_1}{a}\frac{X_1}{Y} + \cdots + \frac{a_n}{a}\frac{X_n}{Y}\right) = a Y Z,$$

with $a^2 = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$, is the same as the distribution of any other linear combination with the same value of $aY$. For convenience, take $a_1=a_2=\cdots=a_{n-1}=0$ and $a_n=1$. To find the distribution of $Z$, we must therefore study the distribution of $X_n$ given that $(X_1,\ldots, X_n)$ lies on the unit sphere $S^{n-1}$ in $\mathbb{R}^n$.

The density between $X_n = h$ and $X_n = h+dh$ will be proportional to the volume of the infinitesimal band on $S^{n-1}$ between heights $h$ and $h+dh$. This band is a frustum of a circular cone with radii ranging from $(1-h^2)^{1/2}$ to $(1 - (h+dh)^2)^{1/2}$. It therefore has an $n-1$-dimensional content proportional to

$$f(h) = \frac{dh}{(1-h^2)^{1/2}}((1-h^2)^{1/2})^{n-2} + O(dh^2).$$

This is recognizable as a Beta$((n-1)/2, (n-1)/2)$ density that has been recentered at $0$ and scaled to be supported on $[-1,1]$. Consequently, $\suma X_i$ itself is $aY$ times that distribution.

---

Simulations in R bear out this result. For each of several values of $n$, a vector $un$ was randomly generated and then $10,000$ independent realizations of $\sum_{i=1}^n a_i X_i$ were created. For each of these, $Z$ se calcula y se resume con un histograma. A través de estos histogramas se extraen las reivindica la función de densidad (de la reescalado, recentered distribución Beta). El acuerdo es excelente.

N <- 1e4
par(mfcol=c(3, 4))
for (n in c(2, 3, 5, 10)) {
  for (i in 1:3) {
    a <- rnorm(n)
    x <- matrix(rnorm(n*N), n, N)
    y <- apply(x, 2, function(y) sqrt(sum(y^2)))
    z <- ((a / sqrt(sum(a^2))) %*% x) / y

    hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(-1,1,length.out=41), main=paste("n =", n))
    curve((1-x^2)^((n-3)/2)/(2^(n-2) * beta((n-1)/2, (n-1)/2)), col="Red", lwd=2, add=TRUE)
  }
}

Answer 2

Veo a @whuber se me adelantó, pero para la posteridad... Usted debe ser capaz de obtener una analyical expresión esta muy fácilmente utilizando la Ley de Bayes.

1) ya tiene $P\left( \sum_i X_i = Y \right)$

2) Usted debe ser capaz de calcular el $P\left( \sum_i X_i^2 = Z \right)$. Esta es una integral sobre una cáscara esférica, que puede parecer desalentador, pero, afortunadamente, la densidad es constante en ese caparazón, por lo que debe ser la zona de que shell veces la densidad.

3) $P\left( \mathbf{X} | \sum_i X_i = Y \right)$ es una "rebanada" de una distribución normal multivariante por un hyperplane y es por lo tanto otra distribución normal multivariante. Del mismo modo que en (2) se puede calcular $P\left( \sum_i X_i^2 = Z | \sum_i X_i = Y \right)$.

Así que si "el truncado de un cono circular" que asusta, intenta responder (1), (2) y (3).