En una caracterización de los revestimientos dócilmente ramificados del campo de fracción de un anillo henseliano estricto

Question

Deje $K$ a ser el campo de fracciones de un estricto Henselian discreta valoración anillo de $A$. Siguiente Milne ("Etale Cohomology", Capítulo I, Párrafo 5, ejemplo e)), $Spec(K)$ es el algebraicas analógica de un pinchazo en un disco en el plano.

El ejemplo citado es sobre el cálculo de la domar grupo fundamental (en el Grothendieck sentido) de ese disco. Milne, citando Serre ("Cuerpo de Locaux", Capítulo IV), dice que cada confiando inocentemente ramificado extensión de $K$ (por lo que cada confiando inocentemente ramificado, cubriendo de $Spec(K)$) es un Kummer extensión de $K$. Por desgracia, el libro de Serre parece explicar sólo el restrictivas caso: $K=\mathbb{C}((z))$. Por qué esto es cierto en general? En específico, los problemas parecen surgir cuando las características del residuo campo de $A$ no es cero ya.

Pensé que también tienen problemas, relacionados con esta cuestión, respecto a la posible no algebraicas cierre de los residuos del campo de $A$. Pero, ya que estamos buscando sólo confiando inocentemente ramificado, extensiones, la estricta Henselianity de $A$ es suficiente para evitar esos problemas.

Además estoy interesado en el caso más general de $A$ la estricta Henselianization de la paja $\mathcal{O}_{X,x}$ una gavilla en un punto de $x$ de un esquema de $X$, lo $A$ ser estrictamente Henselian pero no un discreto anillo de valoración más. Me gustaría tener el mismo resultado (o algo similar) ela en esta situación. Así que, ¿cuánto es la profundidad de la solicitud de $A$ ser un discreto anillo de valoración? O, ¿puedo restringir a ese caso en cualquier situación?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Aquí hay una respuesta a su pregunta en el contexto de los Dvr.

El argumento con la ramificación de las filtraciones de Serre demuestra que si $L/K$ es manso, a continuación, $Gal(L/K)$ incrusta en $\mathcal O_L^{\times}/(1+\mathfrak m_L)$, and hence is cyclic (being isomorphic to a finite subgroup of the multiplicative group of a field). Since $K$ contains all prime-to-$p$ power roots of $1$, by the strict Henselian assumption (here $p$ es el char. de la el residuo de campo $\mathcal O_K/\mathfrak m_K$), podemos ver que $L/K$ es un Kummer extensión, es decir, se obtiene mediante la extracción de la $n$th raíz de algún elemento de $K$, para algunos $n$ primer a $p$. De nuevo por la estricta Henselianess, el $n$th raíz de todos los elementos de $O_K^{\times}$ ya se encuentran en $K$ (utilizando el hecho de que $n$ es el prime-a-$p$), y en el hecho de $L$ viene por la extracción de la $n$th raíz de un uniformizer de $\mathcal O_K$.

Si puedo conseguir que mis pensamientos en orden, yo podría volver y dirección de la no-DVR aspectos de la cuestión así.