Deje que$d(n)$ sea la suma digital de$n$. ¿Cómo resolver$n+d(n)+d(d(n))=m$, donde$n$ y$m$ son naturales?
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mjqxxxx
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Tenga en cuenta que para cualquier positivos $x$, tenemos $L(x) \le d(x) \le 9L(x)$ donde $L(x)$ es el número de dígitos decimales en $x$ y es monotónica (a diferencia de la suma de dígitos en sí). Esto nos permite definir una rápida convergencia de la iteración en el intervalo donde la $n$ se pueden encontrar para un determinado $m$. En concreto, supongamos que sabemos que $n \ge a$. Entonces $$ \begin{eqnarray} m &=& n+d(n)+d(d(n)) \\ &\ge& n + L(n) + L(L(n)) \\ &\ge& n + L(a)+L(L(a)) \end{eqnarray} $$ implica que $n \le m - L(a) - L(L(a))$. Del mismo modo, si sabemos que $n \le b$, podemos derivar el límite inferior $n \ge m - 9L(b) - 9L(9L(b))$. Esto sugiere la iteración $$ [a_{i+1}, b_{i+1}]=[\max(a_i, m-9L(b_i)-9L(9L(b_i))),\min(b_i, m-L(a_i)-L(L(a_i)))], $$ donde podemos comenzar con $[a_0,b_0]=[1,m]$. Cuando esta iteración llega a un punto fijo, simplemente podemos comprobar los valores que contiene, y están garantizados para encontrar todas las soluciones para $n$.
Este método converge rápidamente a un estrecho intervalo. Por ejemplo, comenzando con $m=34657812654812376587236687521$, uno llega a los límites $m-288 \le n \le m-31$ en dos iteraciones; la comprobación de estos valores da $n=m-149$ e $n=m-155$ como las dos únicas soluciones.
No es una solución, simplemente un gran tamaño de la observación. Puede ser eliminado de una vez una solución completa está publicada.
Observe que el lado izquierdo es siempre un múltiplo de $3$. De hecho, vamos a $$ n = \sum_{k=0}^{\ell} d_k \cdot 10^k $$ Observar, que $n \equiv d(n) \mod 3$, por virue de $10^k \equiv 1 \mod 3$.
Entonces $$ \left(n + d(n)\right) \bmod 3 = \sum_{k=0}^{\ell} d_k \cdot \left(10^k +1 \right) \bmod 3 = \left(-\sum_{k=0}^{\ell} d_k \right) \bmod 3 = \left(-d(n) \bmod 3\right) = \left(-d(d(n))\right) \bmod 3 $$
Por lo tanto, la ecuación es sólo solucionable si $m$ es un múltiplo de $3$.
Aquí es un gráfico de la izquierda lado para $1 \leqslant n \leqslant 3^4$, lo que demuestra que la solución no es única.
También parece, empíricamente, que el $\left(n + d(n) + d(d(n))\right) \bmod 9 = 3\left(n \bmod 3\right)$, aunque no sé cómo probar que.
