¿Puede existir una relación que sea reflexiva, simétrica, transitiva y antisimétrica al mismo tiempo? He intentado encontrarlo.
Si $A = \{ a,b,c \}$ . Sea $R$ sea una relación reflexiva, simétrica, transitiva y antisimétrica.
$R = \{ (a,a), (b,b), (c,c) \}$
¿Es esto correcto? Si estoy equivocado, ¿puede ayudarme a entenderlo?
Ya que si $(a, b)$ y $(b, c)$ son elementos de $R$ por transitivo habría $(a, c)$ pero entonces debería haber $(b, a)$ , $(c, b)$ y $(c, a)$ por simetría, pero entonces no sería antisimétrico. Si no me equivoco.
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En lugar de decirte simplemente si tienes razón o dónde te equivocas, te recomiendo que lo compruebes metódicamente para que puedas estar seguro de la respuesta. Para comprobar la transitividad, si te preocupa que te falte algo, puedes escribir los 9 pares de elementos o $R$ y ver si son de la forma $(x,y)$ y $(y,z)$ (donde algunos de $x,y,z$ puede ser el mismo) y si el correspondiente $(x,z)$ está en $R$ también. Para la simetría, mira los 3 elementos de $R$ . Para la reflectividad, mira los 3 elementos de $A$ . Para la antisimetría, mira los 6 pares desordenados de elementos de $R$ para buscar $(x,y)$ y $(y,x)$ .
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La simetría y la antisimetría obligan a que la relación sea un subconjunto de la diagonal. La reflexividad obliga a que la diagonal sea un subconjunto de la relación. La transitividad no juega realmente un papel aquí, aunque se deduce de las otras propiedades.
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¿Hay alguna razón por la que no haya aceptado ninguna de las respuestas recibidas?
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