Teorías de campos cuánticos libres como puntos fijos de Wilsonian RG

Question

Considerar Euclidiana Klein Gordon teoría cuántica de campos en el toroidal spacetime $X\simeq S^1\times \cdots\times S^1$, con la acción

$$S(\varphi) = \int_X \varphi(\Delta+m^2)\varphi$$

y escalar campo $\varphi\in C^\infty_X$, el espacio de las funciones lisas en $X$. Aquí, $\Delta$ es el operador de Laplace correspondiente a la norma plana métrica en el toro. El reclamo es que esta teoría es invariante bajo la Wilsonian renormalization semigroup.

A fomulate esta declaración, precisamente, vamos a $C^\infty_{(a,b)}$ denotar el lineal del espacio de las funciones lisas con autovalor en $(a,b)$ bajo la aplicación de la $\Delta$, y descomponer el espacio de las funciones lisas de acuerdo a los valores propios del operador de Laplace:

$$C^\infty_{[0,\Lambda)} \simeq C^\infty_{[0, \Lambda')}\oplus C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}.$$

Usando la fórmula para la acción de la Wilsonian renormalization semigroup $S[\Lambda]\to S[\Lambda']$ sobre el espacio de las teorías cuánticas del campo como se da en Renormalization y Eficaz de la Teoría de Campo, tenemos, por $\varphi\in C^\infty_{[0, \Lambda')}$,

$$S[\Lambda'](\varphi)=\frac{\hbar}{i}\log \bigg(\int_{\varphi^\perp \in C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}}d\mu^\perp \exp(iS[\Lambda](\varphi+\varphi^\perp)/\hbar)\bigg),$$

donde nos han afectado el nivel de energía de Feynman medida de la alta energía de Feynman medida a través de $d\mu_\Lambda\equiv d\mu_{\Lambda'}\wedge d\mu^\perp$, donde la Feynman medida $d\mu_\lambda$ a un general de la energía a escala $\lambda$ es definido por la condición

$$\int_{\varphi\in C^\infty_{[0,\lambda)}}d\mu_\lambda \exp(iS[\lambda](\varphi)/\hbar)\equiv 1. $$

Primera nota de que el operador $(\Delta+m^2)$ se encuentra en el álgebra generada por los operadores de $1,\Delta$, y por lo tanto trivialmente respeta el espacio propio de la descomposición de $\Delta$. Por lo tanto, de los modos de la escalares del campo están desacoplados, y la acción factorizes como

$$S[\Lambda](\varphi+\varphi^\perp)=S[\Lambda](\varphi)+S[\Lambda](\varphi^\perp),$$

y por lo tanto la integral funcional también factorizes:

$$S[\Lambda'](\varphi)=S[\Lambda](\varphi)+\frac{\hbar}{i}\log \bigg(\int_{\varphi^\perp \in C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}}d\mu^\perp \exp(iS[\Lambda](\varphi^\perp)/\hbar)\bigg),$$

y por lo tanto la acción de las ganancias a la mayoría de un constante desplazamiento, que, no obstante, deja la general de la teoría de invariantes. Por lo tanto masiva de Klein Gordon teoría, y, como parece, de cualquier otro libre de teoría que no par de baja y alta energía grados de libertad, deben ser invariantes conformes, es decir, invariante bajo Wilson renormalization semigroup. Esta afirmación, sin embargo, parece contradecir la literatura, así que supongo que estoy buscando el origen de mi falta de comprensión.

Answer 1

El origen del malentendido es que usted está utilizando el "mal" la RG. He explicado en profundidad en mi respuesta a Wilsonian definición de renormalizability. Usted está utilizando lo que se llama el no autónomos versión de la RG. mientras que para ver los puntos fijos etc. es mejor trabajar con la autónoma versión que implica la integración más rápida modos seguido por un reescalado que restaura el original UV de corte. Esto es lo más intuitiva en la red bloque de spin enfoque de que usted tiene un campo aleatorio en $\mathbb{Z}^d$, luego de hacer un nuevo campo de promedios de los bloques donde los bloques lineales de tamaño de decir $L$. Usted necesita para cambiar la escala, es decir, reducir el tamaño de su nueva red ($(L\mathbb{Z})^d$) por un factor de $L$ por lo que el RG se convierte en una evolución en el espacio fijo de la unidad de entramado de teorías. A menos que RG es un "tiempo"independiente de la dinámica del sistema en un espacio fijo, es difícil hablar de una noción estricta de puntos fijos.

Si haces este cambio de coordenadas para la comunidad autónoma de la configuración que se vea que la masa plazo va a destruir el punto fijo de la propiedad de la masa de Gauss. Es decir, la masa va a crecer de acuerdo a $m^2\rightarrow L^2 m^2$ en cada RG iteración. Puntos fijos sólo corresponden a $m^2=0$ (o $m^2=\infty$).