Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^n,\,n\geqslant 2,$ ser un almacén de dominio
con Lipschitz límite. Para un cilindro $\,Q_T=\Omega\times(0,T),\,$ denotar por
$S_T$ de su superficie lateral $\partial\Omega\times (0,T)$, con la notación $\Gamma_T$
de pie por su parabólico límite de $\{(x,t)\colon\; x\in \overline{\Omega},t=0\}\cup S_T$. Obviamente, la solución de $u$ a no homogénea de la ecuación del calor $\,u_t-\Delta u=f\,$ en $\,Q_T\,$ con innhomogeneous condición de contorno $u|_{S_T}=\psi$ puede ser representado
en el formulario de $u=v+w\,$ donde
$$
\begin{cases}
v_t-\Delta v=0\;\;\text{in}\;\;Q_T\,,\\
v|_{\partial\Omega}=\psi,\quad t\in [0,T],\\
v|_{t=0}=u_0,\quad x\in\overline{\Omega},
\end{casos}
\qquad
\begin{cases}
w_t-\Delta w=f\;\;\text{in}\;\;Q_T\,,\\
w|_{\partial\Omega}=0,\quad t\in [0,T],\\
w|_{t=0}=0,\quad x\in\overline{\Omega}.
\end{casos}
$$
Deje $v\in H^1(Q_T)$ ser una solución débil de satisfacer la integral de la identidad
$$
\int\limits_{Q_T}v_t\varphi_t\,dxdt+\int\limits_{Q_T}\nabla v\cdot\nabla\varphi\,\,dxdt
=0\quad \forall\varphi\H^1(Q_T)\colon\; \varphi|_{S_T}=0\etiqueta{1}
$$
con condiciones iniciales y de contorno
$$
v|_{t=0}=u_0\H^{\frac{1}{2}}(\Omega),\quad v|_{S_T}=\psi\H^{\frac{1}{2}}(S_T).
$$
Para la solución de $v$, denotan $m\desbordado{\rm def}{=}
\underset{\Gamma_T}{\rm ess\,sup\,}{v}\,$
con el finito esencial supremum tomado parabólico límite de $\Gamma_T\,$
w.r.t. el $n$-dimensiones de Lebesgue medida, y deje $\eta_m$
ser una función de Lipschitz de la forma
$$
\eta_m(\xi)=
\begin{cases}
0,\quad \xi\leqslant m,\\
\xi-m, \quad \xi>m.
\end{casos}
$$
Está claro que $\eta_m(v)\in H^1(Q_T)$ mientras $\eta_m(v)_{S_T}=0$ para cualquier solución de $v$.
Tomando en $(1)$ la función de la prueba de $\varphi=\eta_m(v)$ rendimientos
$$
\int\limits_{Q_T}\frac{\partial\,}{\partial t}\Phi_m(v)\,dxdt+
\int\limits_{Q_T}\eta _m(v)|\nabla v|^2dxdt=0\etiqueta{2}
$$
debido a la regla de la cadena $\nabla\varphi=\eta'_m(v)\nabla v$, donde no negativo
la función $\Phi_m$ se define como
$$
\Phi_m(\xi)=
\begin{cases}
0,\quad \xi\leqslant m,\\
\frac{1}{2}(\xi-m)^2, \quad \xi>m.
\end{casos}
$$
Pero $\,\Phi_m(v)|_{t=0}=0$, por lo tanto, por $(2)$ sigue
$$
\int\limits_{\Omega}\Phi_m\bigl(v(\cdot,T)\bigr)\,dx+\int\limits_{Q_T}|\nabla
\eta_m(v)|^2dxdt=0$$
desde $\eta'_m=(\eta'_m)^2$. Por lo tanto, $\nabla \eta_m(v)=0\,$ a.e. en $Q_T$
lo que implica que $\eta_m(v)=C(t)\,$ a.e. en $Q_T\,$.
Pero $\eta_m(v)|_{S_T}=0$, es decir, $\,C(t)=0\,$ a.e. en $(0,T)\,$,
y, por tanto, $\eta_m(v)=0\,$ a.e. en $Q_T\,$. El segundo implica
la débil esencial principio del máximo
$$
\underset{Q_T}{\rm ess\,sup\,}{v}\leqslant m=\underset{\Gamma_T}{\rm ess\,sup\,}{v}
\etiqueta{3}
$$
con la esencial supremum tomado el cilindro $Q_T\,$ w.r.t. el
$(n+1)$-dimensiones de Lebesgue mesure. Para establecer
$$
\underset{\Gamma_T}{\rm ess\,inf\,}{v}\leqslant\underset{Q_T}{\rm ess\,inf\,}{v}
\etiqueta{4}
$$
basta sustituto $v$ en $(3)$ por $-v$. Las desigualdades $(3)$ e $(4)$ de rendimiento
la débil esencial principio del máximo para el módulo de
$$
\underset{Q_T}{\rm ess\,sup\,}{|v|}\leqslant\underset{\Gamma_T}{\rm ess\,sup\,}{|v|}
\etiqueta{5}
$$
Para estimar la solución de $w$, aviso que puede ser construido con Duhamel del principio,
es decir, en la forma
$$
w(x,t)=\int\limits_0^t h(x,t,\tau)\,d\tau
$$
con la función $h=h(x,s,\tau)$ definidos para cada $\tau\in (0,T)$ finitos norma
$\|f(\cdot,\tau)\|_{L^{\infty}(\Omega)}$ como solución de la inicial del valor en la frontera problema
$$
\begin{cases}
h_{s}-\Delta h=0\;\;\text{in}\;\;\Omega\times (\tau,T)\,,\\
h|_{\partial\Omega}=0,\quad s\in [\tau,T],\\
h|_{s=0}=f(x,\tau),\quad x\in\overline{\Omega}.
\end{casos}
$$
De lo contrario, es decir, para $\tau\in (0,T)$ con el infinito norma
$\|f(\cdot,\tau)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\,$, una opción cero $h(\cdot,\cdot,\tau)=0$
es elegido sin pérdida de generalidad. Por lo tanto, para casi todas las $s\in (\tau,T)$ por $(5)$ sigue
$$
\underset{\Omega}{\rm ess\,sup\,}{|h(\cdot,s,\tau)|}
\leqslant\underset{\Omega}{\rm ess\,sup\,}{|f(\cdot,\tau)|}
$$
para casi todos los $\tau\in (0,s)$, de donde sigue
$$
\underset{\Omega}{\rm ess\,sup\,}|w(\cdot,t)|\leqslant
\int\limits_0^t \underset{\Omega}{\rm ess\,sup\,}|h(\cdot,t,\tau)|\,d\tau
\leqslant\int\limits_0^t \underset{\Omega}{\rm ess\,sup\,}|f(\cdot,\tau)|\,d\tau
$$
para casi todos los $t\in (0,T)$. Para una solución débil $u\in H^1(Q_T)$ a la
no homogéneos ecuación del calor $u_t-\Delta u=f$, lo que tiene la siguiente
débil esencial principio del máximo para el módulo de
$$
\underset{Q_T}{\rm ess\,sup\,}|u|\leqslant\underset{\Gamma_T}{\rm ess\,sup\,}{|u|}
+\int\limits_0^T \underset{\Omega}{\rm ess\,sup\,}|f(\cdot,t)|\,dt.
$$
