¿Por qué diverge$a_n=\sqrt{n} + \sin(n)$?

Question

Sé que la secuencia no converge a un punto, por lo que debe divergir. Está limitado en la parte inferior por 0 y no hay límite superior. Entonces, ¿divergen porque no está delimitado o porque oscila? Gracias.

Answer 1

La secuencia $$ a_n = \ sqrt {n} + \ sin (n) $$ diverge porque crece sin límite. Para cualquier$M$ dado, puedes encontrar un$n$ tal que$a_n > M$. Eso es.

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Ahora, está limitado por debajo, pero no por encima. Si tiene una secuencia que está delimitada por debajo y por encima, y si es monótona (es decir, que aumenta o disminuye estrictamente desde un punto), entonces será convergente. Pero tu ejemplo no está acotado arriba.

Answer 2

Para todos los$n \geq 1$ tenemos$\sqrt{n} + \sin n \geq \sqrt{n} - 1$; dado cualquier$M > 0$, tenemos$\sqrt{n} - 1 > M$ si$n > (M+1)^{2}$; pero entonces$n > (M+1)^{2}$ solo si$\sqrt{n} + \sin n > M$. Esto muestra que la secuencia deseada diverge al infinito.

Answer 3

Para ampliar la respuesta de Thomas, podemos ver que$\sin(n) \in [-1,1]$ está delimitado arriba y abajo y que$\sqrt{n}$ no tiene límites. Entonces podemos usar el hecho de que la suma de ilimitados y limitados es ilimitada.